Existence du corps des nombres complexes

[mgtoul]

Bonjour,

En terminale S, l'existence du corps des nombres complexes est un théorème admis. En gros, on dit aux élèves quelque chose comme :
"On admet qu'il existe un ensemble noté C, appelé ensemble des nombres complexes, qui possède les propriétés suivantes :
1) C contient R;
2) C est muni d'une addition et d'une multiplication qui suivent des règles de calcul analogues à celles de l'addition et de la multiplication dans R;
3) C contient un nombre noté i tel que i^2=-1;
4) tout nombre complexe s'écrit de façon unique z=a+ib où a et b sont des nombres réels."

Je m'interroge sur le fait que ce soit un théorème et ce qui dans cette énonciation de propriétés se démontre.
Pour moi les propriétés 1) et 3) ne se démontrent pas, elles se décident.
J'aurais tendance à dire que 3) et 4) se démontrent ce qui confère le statut de "théorème" à l'existence des nombres complexes.
Pour 4) on peut dire que a+ib=a'+ib' implique (a-a')+i(b-b')=0. Mais pour arriver à a-a'=0 et b-b'=0 j'utilise le fait que l'écriture du nombre complexe 0 est unique (0=0+i0 et c'est la seule écriture possible donc a-a'=0 et b-b'=0). En faisant cela j'utilise l'unicité de l'écriture pour montrer l'unicité de l'écriture.
En gros, je ne vois pas comment prouver ce qu'il y a à prouver dans ce "théorème".
Pouvez-vous m'éclairer s'il vous plaît ?
Merci
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[Médiat]

Bonjour,

Le mot "existence" est difficile, voire dangereux, à utiliser en mathématique, mais pour montrer qu'il est loisible d'utiliser un objet, on peut adopter deux types de démarches (complémentaires) :

1) Construire cet objet à partir d'un objet "existant", en général, au lycée, on construit les complexes à partir de couples de réels sur lesquels on définit des opérations (dans ce cas i² = -1 est un théorème trivial).
2) On définit une axiomatique, c'est à dire une liste de formules dont on doit montrer (pour parler "d'existence") que cette liste est consistante (ne génère pas de contradiction), ici l'axiomatique est celle des "corps de caractéristique 0, algébriquement clos", notions qui ne sont pas du niveau lycée), malheureusement, cela ne suffit pas à définir un seul objet, il faut donc ajouter d'autres notions, mais là franchement hors du niveau lycée

[invitedd63ac7a]

On ne construit plus le corps des complexes en terminale S aujourd'hui. On se contente de dire ce que rapporte, exactement d'ailleurs, mgtoul. Cela convient à qui ? Je ne sais pas, mais il est sûr que des élèves intelligents et curieux se posent des questions auxquelles on ne peut répondre vu qu'au départ rien n'est posé correctement. C'est dommage !

[mgtoul]

Merci pour vos réponses.
Avec un tel théorème-définition, on se sent confus car on nous dit d'une part que C est l'ensemble des nombres de la forme a+ib où a et b sont réels et i est tel que , autrement dit on décrit un ensemble, et d'autre part on nous parle d'existence de cet ensemble. Pouvez-vous me dire si ce qui suit est correcte :

Ce que l'on entend par "il existe un tel ensemble" est :
"cet ensemble que l'on définit comme l'ensemble des nombres a+ib avec a et b réels et i tel que , ne génère aucune contradiction, on ne va pas se retrouver par un calcul ou un autre avec quelque chose d'absurde du genre ?"

[A voir en vidéo sur Futura]

[Resartus]

Bonjour,
C'est une démarche fréquente en mathématiques que de se dire "et si je fais cela qu'est-ce qui se passe". Si on arrive à une contradiction, on laisse tomber, et c'est également une information intéressante.

Par exemple, on peut se poser la question : est-il possible d'avoir une algèbre avec 2 nombres complétement différents i et j dont le carré vaut -1 et tout le reste inchangé? cela ne marche pas, car j doit alors valoir i ou -i. (sauf en renonçant à la commutativité de la multiplication, mais c'est une autre histoire : les quaternions)

Dans un domaine plus compliqué, on peut se poser la question non pas sur R mais sur Q : qu'est-ce qui se passe si on ajoute un "nombre" dont le carré est 2 (qui n'existe pas dans Q). Et quid si j'ajoute plusieurs de ces "nombres" bizarres. C'est sur ce genre de considération que Galois a pu baser tout un ensemble de nouvelles théories mathématiques..

Mais cette approche constructive des mathématiques n'est pas considérée comme très "pédagogique" pour un enseignement généraliste (on a essayé avec les maths modernes, avec le succès qu'on connait)

[Médiat]

Bonjour,

C est l'ensemble des nombres de la forme a+ib où a et b sont réels et i est tel que

Ce n'est pas clair écrit comme cela (que signifie le +, d'où vient le i, comment se multiplie-t-il avec un réel ?), c'est plus clean de considérer l'ensemble des couples de réels (a, b), de définir une "addition" sur cet ensemble :



Et une "multiplication" :



Avec ces définitions il est facile de montrer :
1) Toutes les propriétés attendues des deux opérations (d'où l'usage de et plutôt que et )
2) Un sous ensemble de ces couples ressemble beaucoup aux réels (il existe un isomorphisme), par exemple, avec un léger abus d'écriture, on peut écrire
3) En notant , on peut montrer que .
4) Avec les notations précédentes : , ce qui justifie l'écriture

[Médiat]

Bonjour,

(on a essayé avec les maths modernes, avec le succès qu'on connait)

Je ne me féliciterai jamais assez d'avoir été bénéficiaire de cet "échec", j'aurais sans doute détesté les mathématiques sans ces "maths moderne".

[mgtoul]

OK, je comprends ce que vous voulez dire. Le dans n'est qu'un symbole, une écriture qui n'a pas de sens opératoire quand on ne passe pas par la construction des nombres complexes et que l'on dit simplement qu'ils sont de la forme .

[Médiat]

Excellent résumé .