Bonjour,
Je suis en Terminale S et j'ai un DM à rendre pour mardi.
J'ai réussi toutes les questions sauf la 3 (et donc la 4 car elle sont liées).
Voici le sujet :
Soit la fonction f définie sur R* par f(x)=x/2 + 1/x.
1. a. Montrez que f'(x)=((x-racine de 2)(x+racine de 2))/2x².
b. En déduire le sens de variation de f sur [racine de 2;+l'infini].
2. a. Calculez u1 et u2.
b. Utilisez le sens de variation de pour démontrer par récurrence que racine de 2<= un+1 < un <= 3/2.
c. En déduire le sens de variation de la suite un.
3. Sans récurrence, montrez que pour tout n appartenant à N, un+1 - racine de 2 <= 1/2 (un-racine de 2)
Indication : Calculer et simplifier l'expression un+1 - racine de 2 - 1/2 (un-racine de 2) et étudier son signe.
4. En déduire, par récurrence, que pour tout n appartenant à N, 0<un-racine de 2<=(1/2)puissance n FOIS (u0-racine de 2).
En ce qui concerne la question 3, j'ai réussi à obtenir un+1 - 1/2 un - 1/2 racine de 2.
Mais je ne sais pas comment étudier le signe ni si ma simplification est correcte.
Merci d'avance pour votre aide !
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