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besoin de quelques définitions



  1. #1
    Seirios

    besoin de quelques définitions


    ------

    Salut à tous,
    j'ai rencontré quelques mots dans mon cours de maths qui n'ont pas été associés à leur définition :
    minorer, majorer et borner une fonction (c'était le titre d'une méthode mais les mots n'ont pas été réutilisés par la suite), et ce qu'est un point d'inflexion.
    Merci d'avance
    Phys2

    -----

  2. #2
    Coincoin

    Re : besoin de quelques définitions

    Salut,
    Minorer : c'est trouver un minorant Un minorant étant un nombre plus petit que la fonction en tout point.
    Majorer : c'est trouver un majorant. C'est la même chose mais avec "plus grand".
    Borner : c'est trouver un minorant et un majorant (et donc mettre des "bornes" aux variations de la fonction)
    Point d'inflexion : c'est un point où la dérivée seconde s'annule. Graphiquement, ça se traduit par le fait que la courbe traverse sa tangente. Dit autrement, la courbe change de sens de courbure.
    Encore une victoire de Canard !

  3. #3
    nissart7831

    Re : besoin de quelques définitions

    Citation Envoyé par Coincoin
    Point d'inflexion : c'est un point où la dérivée seconde s'annule. Graphiquement, ça se traduit par le fait que la courbe traverse sa tangente. Dit autrement, la courbe change de sens de courbure.
    Bonjour,

    petite précision. La point d'inflexion est bien le point où une courbe change de sens de courbure (la courbe traverse sa tangente). Mais le fait que la dérivée seconde s'annulle en ce point est une condition nécessaire mais pas suffisante. Il faut de plus que la dérivée seconde change de signe en ce point.

    Exemples :
    les fonctions de variable réelle :
    1) f(x) = x4 a sa dérivée seconde qui s'annulle en 0 mais l'origine n'est pas un point d'inflexion de la courbe (elle ne traverse pas sa tangente, sa dérivée seconde reste positive pour tout x)
    2) f(x) = x3 a sa dérivée seconde qui s'annulle en 0 et l'origine est un point d'inflexion de la courbe car sa dérivée seconde change de signe (son sens de courbure change, elle traverse sa tangente).

  4. #4
    matthias

    Re : besoin de quelques définitions

    Citation Envoyé par nissart7831
    le fait que la dérivée seconde s'annulle en ce point est une condition nécessaire
    Que penser de cette fonction :
    f(x) = -x² pour x < 0
    f(0) = 0
    f(x) = x² pour x > 0

    ?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    nissart7831

    Re : besoin de quelques définitions

    Citation Envoyé par matthias
    Que penser de cette fonction :
    f(x) = -x² pour x < 0
    f(0) = 0
    f(x) = x² pour x > 0

    ?
    Je précisai la définition de coincoin au sens où il n'est pas suffisant que la dérivée seconde s'annulle en ce point. Mais bien entendu, tous les deux, on entendait pour des fonctions au moins 2 fois différentiables en ce point, ce qui n'est pas le cas de ta fonction f.

    La vraie définition est donc un point où il y a un changement de concavité (changement de sens de courbure) ?
    La définition présentée plus haut ne serait qu'une conséquence pour les fonctions au moins 2 fois différentiables?

  7. #6
    matthias

    Re : besoin de quelques définitions

    Citation Envoyé par nissart7831
    Je précisai la définition de coincoin au sens où il n'est pas suffisant que la dérivée seconde s'annulle en ce point. Mais bien entendu, tous les deux, on entendait pour des fonctions au moins 2 fois différentiables en ce point, ce qui n'est pas le cas de ta fonction f.
    J'avais bien compris, c'était pour chipoter (basse vengeance parce que tu as été un chouya plus rapide que moi à répondre et que je m'en suis aperçu avant de valider. Oui je sais c'est mesquin ).

    Pour une définition qui correspondrait complètement à l'intuition graphique, je pense qu'il faudrait effectivement un changement de sens de courbure, mais au sens strict, sinon que penser de |x-1| - |x+1| (j'aime bien trouver des fonctions pénibles ).

  8. #7
    nissart7831

    Re : besoin de quelques définitions

    Citation Envoyé par matthias
    J'avais bien compris, c'était pour chipoter (basse vengeance parce que tu as été un chouya plus rapide que moi à répondre et que je m'en suis aperçu avant de valider. Oui je sais c'est mesquin ).

    Pour une définition qui correspondrait complètement à l'intuition graphique, je pense qu'il faudrait effectivement un changement de sens de courbure, mais au sens strict, sinon que penser de |x-1| - |x+1| (j'aime bien trouver des fonctions pénibles ).
    Oui, je suis d'accord, changement de sens de courbure au sens strict. Qu'il y ait de vraies concavités, non nulles ! Et sans doute que quel que soit le voisinage que l'on prenne autour de ce point d'inflexion, le sens de courbure change réellement.
    Parce que ta fonction, c'est loin de l'intuition qu'on se fait d'un point d'inflexion (mais faut-il se fier à notre intuition ? .). Même si ta fonction était dérivable aux points d'bscisses -1 et 1 (ce qui n'est pas le cas), on aurait une inversion de courbure. Mais le changement ne se ferait pas en un point unique mais sur tout un segment de droite. Par exemple, la fonction définie par


    On pourrait peut être parler de segment d'inflexion

  9. #8
    matthias

    Re : besoin de quelques définitions

    Oui, encore que finalement le changement de convexité au sens strict ne paraisse pas non plus satisfaisant :
    f(x) = -x² pour x > 0
    f(x) = x² + 2x pour x >= 0
    Point d'inflexion en x = 0 ? Bof.

    Et on ne peut même pas exiger que la fonction soit dérivable (). Je pense qu'il faut plutôt regarder du côté des courbes paramétrées pour coller à l'intuition graphique.

  10. #9
    nissart7831

    Re : besoin de quelques définitions

    Avec tout ça, je pense qu'on va plus troubler Phys2 que l'aider. Je ne pense pas que ce soit ce genre de réponse qu'il attende.

    De manière académique, je pense qu'on peut résumer la notion de point d'inflexion comme un point où une courbe continue change sa concavité (ou sens de courbure).
    Et que pour de "bonnes" fonctions (ie au moins 2 fois différentiables sur un voisinage de ce point), la dérivée seconde s'annulle et change de signe en ce point.
    Non ?


    Pour en revenir à tes courbes paramétrées, tu voudrais traduire quelle intuition graphique et comment ?

  11. #10
    matthias

    Re : besoin de quelques définitions

    Citation Envoyé par nissart7831
    Et que pour de "bonnes" fonctions (ie au moins 2 fois différentiables sur un voisinage de ce point), la dérivée seconde s'annulle et change de signe en ce point.
    Non ?
    Si bien sûr, ça suffit dans la plupart des cas.


    Citation Envoyé par nissart7831
    Pour en revenir à tes courbes paramétrées, tu voudrais traduire quelle intuition graphique et comment ?
    Ca fait longtemps que j'ai pas touché à ça, mais en prenant l'abscisse curviligne, en exigeant la différentiabilité et le changement strict de sens de courbure, on doit s'en sortir non ?

  12. #11
    nissart7831

    Re : besoin de quelques définitions

    Citation Envoyé par matthias
    Ca fait longtemps que j'ai pas touché à ça
    Oui, moi aussi, donc toutes les notions qui s'y rapportent sont moins intuitives pour moi.

    mais en prenant l'abscisse curviligne, en exigeant la différentiabilité et le changement strict de sens de courbure, on doit s'en sortir non ?
    Mais est ce que ça changerait réellement quelque chose par rapport aux cas "tordus" qu'on a présenté plus haut.
    On parlait de différentiabilité et de changement strict de courbure. J'ai vraiment du mal à voir ce que ça donne.

    Parce que si on prend la dernière fonction que tu donnais, si on la voit en abscisse curviligne, qu'est ce que ça changerait ?

    C'est pour ça que j'en reviens à une de mes questions précédentes : qu'est ce que tu voudrais traduire comme notion ? Exprime avec des mots ce que tu verrais comme bonnes caractéristiques que doit vérifier un point d'inflexion.
    A cette heure-là, je dois avouer que je commence à fatiguer.

  13. #12
    matthias

    Re : besoin de quelques définitions

    Citation Envoyé par nissart7831
    On parlait de différentiabilité et de changement strict de courbure. J'ai vraiment du mal à voir ce que ça donne.
    Oui c'est ça : pas de changement de pente, et changement strict du sens de courbure. Le seul avantage des courbes paramétrées est de ne pas se formaliser des pentes verticales. Par contre je me pose la question : différentiable ou C1 ?

  14. #13
    matthias

    Re : besoin de quelques définitions

    En fait géométriquement, un point d'inflexion c'est un point de la courbe tel que toute droite passant par ce point traverse localement la courbe (enfin une définition satisfaisante non ?).

    Sous réserve de régularité suffisante, on prend p le premier entier tel que dpM/dtp soit non nul et q le premier entier > p tel que dqM/dtq soit indépendant de dpM/dtp. On a un point d'inflexion si p impair et q impair.

  15. #14
    nissart7831

    Re : besoin de quelques définitions

    Qu'est ce que tu veux dire par : "pas de changement de pente" ?

    Tu ne voudrais quand même pas que la courbe soit symétrique par rapport au point d'inflexion sur un voisinage de ce point avec changement strict du sens de courbure ?


    f(x) = -x² pour x > 0
    f(x) = x² + 2x pour x >= 0
    Point d'inflexion en x = 0 ? Bof.
    Et dis moi ce qu'on peut mieux exprimer avec les courbes paramétriques pour dire que cette courbe (traduite en courbe paramétrique) n'admet pas de point d'inflexion, au sens où tu voudrais l'entendre.

  16. #15
    nissart7831

    Re : besoin de quelques définitions

    Citation Envoyé par matthias
    En fait géométriquement, un point d'inflexion c'est un point de la courbe tel que toute droite passant par ce point traverse localement la courbe (enfin une définition satisfaisante non ?).
    Toute droite qui passe par un point d'une courbe traverse cette courbe. La seule exception est la tangente en ce point qui ne traverse pas obligatoirement la courbe.
    Et si on impose cette traversée de la courbe aussi à la tangente pour le point d'inflexion, c'est la seule propriété qu'il faudrait retenir pour caractériser le point d'inflexion.
    Et ça, c'est exactement l'une des définitions du point d'inflexion, qu'a rappellé coincoin au début de ce fil : un point d'une courbe est un point d'inflexion si la tangente en ce point traverse la courbe.
    Non ?


    Sous réserve de régularité suffisante, on prend p le premier entier tel que dpM/dtp soit non nul et q le premier entier > p tel que dqM/dtq soit indépendant de dpM/dtp. On a un point d'inflexion si p impair et q impair.
    J'ai rapidement regardé mais ton idée ne ressemble pas à ça ?

  17. #16
    matthias

    Re : besoin de quelques définitions

    Citation Envoyé par nissart7831
    Toute droite qui passe par un point d'une courbe traverse cette courbe. La seule exception est la tangente en ce point qui ne traverse pas obligatoirement la courbe.
    Non. Il peut y en avoir d'autres dans le cas de points de rebroussement (1ère espèce : seule la tangente traverse, 2ème espèce : aucune droite ne traverse).
    Ou plus simple : |x| (mais celle-là n'a même pas de tangente ).

    Citation Envoyé par nissart7831
    Et ça, c'est exactement l'une des définitions du point d'inflexion, qu'a rappellé coincoin au début de ce fil : un point d'une courbe est un point d'inflexion si la tangente en ce point traverse la courbe.
    Non ?
    Sous réserve de régularité suffisante. Sinon on peut aussi avoir les points de rebroussement de 1ère espèce (ou la tangente est la seule droite à traverser localement la courbe).

    Citation Envoyé par nissart7831
    J'ai rapidement regardé mais ton idée ne ressemble pas à ça ?
    Ben si. Je me suis rafraichi la mémoire dans mes cours de prépa, ça ne fait pas de mal
    Dernière modification par matthias ; 19/05/2006 à 00h34.

  18. #17
    matthias

    Re : besoin de quelques définitions

    Citation Envoyé par nissart7831
    Qu'est ce que tu veux dire par : "pas de changement de pente" ?
    En gros : que la tangente existe (c'est déjà pas mal). Mais en fait ça ne réglait pas le problème des points de rebroussements.

    Citation Envoyé par nissart7831
    f(x) = -x² pour x > 0
    f(x) = x² + 2x pour x >= 0
    Point d'inflexion en x = 0 ? Bof.
    Et dis moi ce qu'on peut mieux exprimer avec les courbes paramétriques pour dire que cette courbe (traduite en courbe paramétrique) n'admet pas de point d'inflexion, au sens où tu voudrais l'entendre.
    Pour celle-là rien (même pas de tangente donc c'est réglé). C'était plutôt pour ou la tangente au point d'inflexion est verticale.

  19. #18
    nissart7831

    Re : besoin de quelques définitions

    Citation Envoyé par matthias
    Non. Il peut y en avoir d'autres dans le cas de points de rebroussement (1ère espèce : seule la tangente traverse, 2ème espèce : aucune droite ne traverse).
    Ou plus simple : |x| (mais celle-là n'a même pas de tangente ).


    Sous réserve de régularité suffisante. Sinon on peut aussi avoir les points de rebroussement de 1ère espèce (ou la tangente est la seule droite à traverser localement la courbe).
    Bien sûr, j'entendais pour des courbes qui admettaient une tangente en ce point et avec une régularité suffisante (c'est pour ça que je ne comprenais pas ton expression "pas de changement de pente"). Mais c'est vrai que j'avais oublié les points de rebroussement.
    Je suis vraiment fatigué, j'y vois plus clair

  20. #19
    Seirios

    Re : besoin de quelques définitions

    Citation Envoyé par Coincoin
    Minorer : c'est trouver un minorant Un minorant étant un nombre plus petit que la fonction en tout point.
    Majorer : c'est trouver un majorant. C'est la même chose mais avec "plus grand".
    Minorer et majorer, ce ne serait pas comme trouver le minimum et le maximum de la fonction ?

  21. #20
    Nox

    Re : besoin de quelques définitions

    Bonsoir

    On est d'accord c'ests trouver le minimum ou le max de l'intervalle d'arrivée , ensuite reste a savoir si c'est un minimum local ou si c'est sur R par exemple ...

    Cordialemnt,

    Nox
    Nox, ancien contributeur des forums de maths et de chimie.

  22. #21
    Coincoin

    Re : besoin de quelques définitions

    Minorer et majorer, ce ne serait pas comme trouver le minimum et le maximum de la fonction ?
    Pas forcément. Si tu trouves un élément plus petit que le minimum, c'est un minorant aussi. Le minimum est le plus grand des minorants.
    Par exemple, tu peux minorer x² par 0 mais aussi par -1.
    Sous réserve de régularité suffisante
    Ah... ces matheux !
    Encore une victoire de Canard !

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