démonstration cosinus d'angles non remarquables
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démonstration cosinus d'angles non remarquables



  1. #1
    midorima

    démonstration cosinus d'angles non remarquables


    ------

    Bonjour tous le monde
    je bloque sur un exercice dont l'énoncé est :
    prouver que
    (1/2 - cosπ/7)(1/2-cos3π/7)(1/2-cos9π/7)=-1/8
    π= pi (juste pour préciser)
    et je ne trouve pas comment calculer avec ces angles
    l'idéal serait de trouver que chacun des facteur est égale a -1/2
    mais je pense pas que ce soit ca
    j'ai pu remarqué une chose
    π/7= 2π/7 -π/7
    3π/7=2π/7+π/7
    9π/7= 2π/7 +π
    en utilisant les formule de cos(a+b) ça se complique trop et je me perds dans les calculs
    merci de m'aider

    -----

  2. #2
    jacknicklaus

    Re : démonstration cosinus d'angles non remarquables

    en effet, la 1ère chose est de remarquer que 9pi/7 = pi + pi/7
    puis tu développe, bestialement.

    tu as un truc du genre :
    expression = 1/8 + 1/4*(expression A avec des sommes de cos) + 1/2*(expression B avec des sommes de cos*cos) + (expression C avec un terme cos*cos*cos).
    on peut montrer séparément que A = -1/2, B = -1/2 et C = 1/8. C'est assez calculatoire. une astuce est de multiplier par sin(pi/7) et de faire apparaître des identités trigonométrique connues. Exemple pour C : (n7 = pi/7)

    cos(π7)cos(2π7)cos(3π7)

    =(1/(2sin(π7))*2sin(n7)cos(π7)cos( 2π7)cos(3π7)

    =(1/(2sin(π7))*sin(2π7)cos(2π7)cos (3π7)

    =(1/(4sin(π7))*sin(4π7)cos(3π7)

    =(1/(4sin(π7))*sin(π−3π7)cos(3π7)

    =(1/(4sin(π7))*sin(3π7)cos(3π7)

    =(1/(8sin(π7))*sin(6π7)

    =(1/(8sin(π7))*sin(n7)

    =1/8
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  3. #3
    jacknicklaus

    Re : démonstration cosinus d'angles non remarquables

    Naturellement, il y a coquille, il fallait lire
    9pi/7 = pi + 2pi/7 et non 9pi/7 = pi + pi/7
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  4. #4
    midorima

    Re : démonstration cosinus d'angles non remarquables

    Bonjour
    Merci pour ta réponse
    J'arrive a avoir l'expression
    Est ce que l'astuce du sin est a appliqué dans le cas de multiplication ou alors on peut grace a elle prouver pour les expression de somme
    Car je suis en train de faire avec et je galère a max pour trouver le résultat
    Comme pour
    Cos2π7 - cos3π7 -cosπ7 =cos2π7- 2cos2π7*cosπ7
    Avec le sin π j'obtiens sin4π7/2sin2π7 - sin4π7/2sinπ7

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    jacknicklaus

    Re : démonstration cosinus d'angles non remarquables

    l'astuce du sin(n7) marche aussi très bien pour la somme :

    cos(2n7) - cos(n7) - cos(3n7)
    = (1/(2sin(n7))) * [ 2sin(n7)cos(2n7) - 2sin(n7)cos(n7) - 2sin(n7)cos(2n7)]
    = (1/(2sin(n7))) * [ sin(3n7) - sin(n7) - sin(2n7) - sin(4n7) + sin(2n7)]
    = (1/(2sin(n7))) * [ sin(3n7) - sin(n7) - sin(pi - 3n7) ]
    = -1/2

    j'ai utilisé : sin(pi - z) = sin(z)
    et 2sin(a)cos(b) = sin(a+b)+sin(a-b)


    je te laisse la dernière somme à faire, c'est toujours la même méthode.
    Dernière modification par jacknicklaus ; 03/10/2017 à 09h50.
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  7. #6
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : démonstration cosinus d'angles non remarquables

    ha ! "quand l'astuce est bonne, bonne, bonne" Jean-Jack !

    sinon, c'est quand même hard pour un exercice de lycée, c'est un truc genre olympiade ?
    Dernière modification par ansset ; 03/10/2017 à 12h52.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  8. #7
    jacknicklaus

    Re : démonstration cosinus d'angles non remarquables

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    sinon, c'est quand même hard pour un exercice de lycée, c'est un truc genre olympiade ?

    tu as entièrement raison, c'est assez hard pour du lycée. Je suis persuadé qu'il y a une grosse ficelle qui va tout droit au résultat, mais je ne la vois pas. J'ai creusé un moment un passage par les solutions sur C de z^7 + 1 = 0. Mais sans succès.
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  9. #8
    midorima

    Re : démonstration cosinus d'angles non remarquables

    rebonjour
    a mon grand regret
    je n'arrive toujours pas a avoir le -1/2
    je ne sais pas si c'est des erreurs de calculs ou de méthode
    mais tu m'a préciser que c'est la meme methode
    donc je n'arrete pas de refaire les calculs et toujours la meme chose
    je tombe (-sin2n7 -2sin(n7)+3/2 *sin4n7)/2sin(n7) dont la valeur est differente de -1/2

  10. #9
    jacknicklaus

    Re : démonstration cosinus d'angles non remarquables

    tu as tout en main !

    C : le triple produit de cosinus, en message #2. --> 1/8

    A : la somme des 3 cosinus, en message #5 --> -1/2

    B : pour la somme des 3 cosinus x cosinus , il est trivial de la transformer sous exactement la somme A : Tu connais je suppose la formule classique pour transformer un produit cos(a)cos(b) en somme de 2 cosinus ? Et tu sais bien sûr que cos (pi - a) = - cos(a). C'est tout ce dont tu as besoin pour finir cet exercice.
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  11. #10
    midorima

    Re : démonstration cosinus d'angles non remarquables

    Oui oui effectivement
    La méthode était juste
    Je faisais une erreur d'inattention qui ont déformé toute la formule
    A la fin j'arrive a -1/2
    Merci pour ton aide précieuse

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