Bonjour tous le monde
je bloque sur un exercice dont l'énoncé est :
prouver que
(1/2 - cosπ/7)(1/2-cos3π/7)(1/2-cos9π/7)=-1/8
π= pi (juste pour préciser)
et je ne trouve pas comment calculer avec ces angles
l'idéal serait de trouver que chacun des facteur est égale a -1/2
mais je pense pas que ce soit ca
j'ai pu remarqué une chose
π/7= 2π/7 -π/7
3π/7=2π/7+π/7
9π/7= 2π/7 +π
en utilisant les formule de cos(a+b) ça se complique trop et je me perds dans les calculs
merci de m'aider
en effet, la 1ère chose est de remarquer que 9pi/7 = pi + pi/7
puis tu développe, bestialement.
tu as un truc du genre :
expression = 1/8 + 1/4*(expression A avec des sommes de cos) + 1/2*(expression B avec des sommes de cos*cos) + (expression C avec un terme cos*cos*cos).
on peut montrer séparément que A = -1/2, B = -1/2 et C = 1/8. C'est assez calculatoire. une astuce est de multiplier par sin(pi/7) et de faire apparaître des identités trigonométrique connues. Exemple pour C : (n7 = pi/7)
cos(π7)cos(2π7)cos(3π7)
=(1/(2sin(π7))*2sin(n7)cos(π7)cos( 2π7)cos(3π7)
=(1/(2sin(π7))*sin(2π7)cos(2π7)cos (3π7)
=(1/(4sin(π7))*sin(4π7)cos(3π7)
=(1/(4sin(π7))*sin(π−3π7)cos(3π7)
=(1/(4sin(π7))*sin(3π7)cos(3π7)
=(1/(8sin(π7))*sin(6π7)
=(1/(8sin(π7))*sin(n7)
=1/8
There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.
Naturellement, il y a coquille, il fallait lire
9pi/7 = pi + 2pi/7 et non 9pi/7 = pi + pi/7
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Bonjour
Merci pour ta réponse
J'arrive a avoir l'expression
Est ce que l'astuce du sin est a appliqué dans le cas de multiplication ou alors on peut grace a elle prouver pour les expression de somme
Car je suis en train de faire avec et je galère a max pour trouver le résultat
Comme pour
Cos2π7 - cos3π7 -cosπ7 =cos2π7- 2cos2π7*cosπ7
Avec le sin π j'obtiens sin4π7/2sin2π7 - sin4π7/2sinπ7
l'astuce du sin(n7) marche aussi très bien pour la somme :
cos(2n7) - cos(n7) - cos(3n7)
= (1/(2sin(n7))) * [ 2sin(n7)cos(2n7) - 2sin(n7)cos(n7) - 2sin(n7)cos(2n7)]
= (1/(2sin(n7))) * [ sin(3n7) - sin(n7) - sin(2n7) - sin(4n7) + sin(2n7)]
= (1/(2sin(n7))) * [ sin(3n7) - sin(n7) - sin(pi - 3n7) ]
= -1/2
j'ai utilisé : sin(pi - z) = sin(z)
et 2sin(a)cos(b) = sin(a+b)+sin(a-b)
je te laisse la dernière somme à faire, c'est toujours la même méthode.
Dernière modification par jacknicklaus ; 03/10/2017 à 09h50.
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ha ! "quand l'astuce est bonne, bonne, bonne" Jean-Jack !
sinon, c'est quand même hard pour un exercice de lycée, c'est un truc genre olympiade ?
Envoyé par ansset
tu as entièrement raison, c'est assez hard pour du lycée. Je suis persuadé qu'il y a une grosse ficelle qui va tout droit au résultat, mais je ne la vois pas. J'ai creusé un moment un passage par les solutions sur C de z^7 + 1 = 0. Mais sans succès.
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rebonjour
a mon grand regret
je n'arrive toujours pas a avoir le -1/2
je ne sais pas si c'est des erreurs de calculs ou de méthode
mais tu m'a préciser que c'est la meme methode
donc je n'arrete pas de refaire les calculs et toujours la meme chose
je tombe (-sin2n7 -2sin(n7)+3/2 *sin4n7)/2sin(n7) dont la valeur est differente de -1/2
tu as tout en main !
C : le triple produit de cosinus, en message #2. --> 1/8
A : la somme des 3 cosinus, en message #5 --> -1/2
B : pour la somme des 3 cosinus x cosinus , il est trivial de la transformer sous exactement la somme A : Tu connais je suppose la formule classique pour transformer un produit cos(a)cos(b) en somme de 2 cosinus ? Et tu sais bien sûr que cos (pi - a) = - cos(a). C'est tout ce dont tu as besoin pour finir cet exercice.
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Oui oui effectivement
La méthode était juste
Je faisais une erreur d'inattention qui ont déformé toute la formule
A la fin j'arrive a -1/2
Merci pour ton aide précieuse
