Que vault un zero plus sur lui meme?

[invite5ac0c3ae]

Bonjour,

Je bloque sur un simple calcul de limites que voici:
et
Il nous est demandé de trouver:

On peux déja commance par: et donc

Mon calcule est-il correcte? Si oui: Que vaut ?

Merci.
-----

[pm42]

Ce genre de calcul de limite est un grand classique expliqué dans le cours et dans plein d’exercices. Notamment on ne met jamais les 0 tels quels pour éviter d’arriver sur ce genre de forme indéterminée.

Tu as regardé ton cours et les exos précédents ?
Ou pour être gentil essayé de factoriser un truc genre x - 2 ?

[gg0]

Désolé, AbA2L,

mais ton calcul n'est pas juste, tu ne peux pas remplacer x par 2. C'est d'ailleurs parce qu'on ne peut pas faire le calcul pour x=2 (on a zéro au dénominateur, ce qui fait que ça n'a pas de sens) qu'on calcule une limite.

Il va donc falloir transformer ton expression, pour "simplifier par ce qui fait que ça tend vers 0". Deux possibilités (au moins) :
* multiplier haut et bas pas la "quantité conjuguée" du numérateur (le numérateur avec un - devant la fraction) puis simplifier par x-2
* remarquer que x²-3x+2 se factorise par x-2, puis faire apparaître partout des racines carrées de x-2 qui pourront permettre une simplification.

Cordialement.

Conseil : Revoir le cours sur les limites, en particulier les "formes indéterminées".

[jacknicklaus]

pour en remettre une couche, quand x tend vers zéro+, quelle est la limite de :
x / x² ?
x / x ?
x²/ x ?

tu vois bien que ce sont 3 formes 0 / 0, et que les valeurs, après simplification triviales, sont infini, 1, zéro. Donc tu vois bien que 0 / 0 n'a aucune valeur prédéterminée.

donc revois ton calcul et débrouille toi pour éliminer l'indétermination, par exemple en factorisant haut et bas une même expression qui tend vers 0....

[A voir en vidéo sur Futura]

[QueNenni]

Il faut calculer la dérivée de f(x) en x = 2.

[gg0]

Encore faudrait-il que f soit dérivable en 2, ce qui n'est pas le cas.

Cordialement.

[QueNenni]

On remplace sous le radical x² -3x +2 par (x-1) (x-2) et on divise par x-2.

[andretou]

Il faut calculer la dérivée de f(x) en x = 2.

Je confirme. On a une expression du type (f(x₂) - f(x₁))/(x₂ - x₁).
Le problème consiste ici à déterminer la limite de f'(x) quand x tend vers 2+.
AbA2L, sais-tu calculer la dérivée de f(x) ?

[pm42]

Le problème consiste ici à déterminer la limite de f'(x) quand x tend vers 2+.

Quand quelqu'un ne sait pas calculer une limite simple, lui conseiller de dériver avant de faire la limite de la dérivée me laisse un pouiem de chouia perplexe...

[albanxiii]

Quand on répond dans un fil, mon cher andretou, la moindre des choses c'est de lire ce qui a été écrit avant et de se demander si on apporte quelque chose de plus...

Je confirme. On a une expression du type (f(x₂) - f(x₁))/(x₂ - x₁).
Le problème consiste ici à déterminer la limite de f'(x) quand x tend vers 2+.
AbA2L, sais-tu calculer la dérivée de f(x) ?

Encore faudrait-il que f soit dérivable en 2, ce qui n'est pas le cas.

En l’occurrence, à part faire grimper l’entropie de l'univers et de contribuer au réchauffement climatique, voter message ne sert à rien.

[andretou]

Merci très cher albanxii pour cette belle remarque cosmologique pleine à la fois de poésie et d'humour.
Ceci dit, sauf erreur de ma part, ce problème est manifestement une application des propriétés du nombre dérivé ; c'est la raison pour laquelle il m'a semblé utile et souhaitable de valider la proposition de QueNenni, en prenant cependant soin d'ajouter "quand x tend vers 2+" afin de tenir compte de la remarque de gg0, ce qui ne vous a sûrement pas échappé.
Aussi, très cher albanxii :
- soit le problème proposé n'est pas une application des propriétés du nombre dérivé, ce que je vous serais reconnaissant de bien vouloir démontrer, et dans ce cas je reconnaîtrai volontiers que mon intervention était inutile ;
- soit le problème proposé est une application des propriétés du nombre dérivé, et dans ce cas je mettrai votre intervention sur le compte d'un malentendu regrettable.

Cordialement

[pm42]

- soit le problème proposé n'est pas une application des propriétés du nombre dérivé, ce que je vous serais reconnaissant de bien vouloir démontrer, et dans ce cas je reconnaîtrai volontiers que mon intervention était inutile ;

Le problème est un grand classique de limite, très simple et le primo-posteur semble ne connaitre aucune technique élémentaire pour le traiter.

Comme déjà dit, lui demander de calculer une dérivée puis sa limite alors qu'il n'arrive pas à faire une limite est totalement inefficace voire ridicule.
Et encore plus dans un contexte de non dérivabilité.

Donc ton intervention était inutile et même nuisible.

[albanxiii]

Ceci dit, sauf erreur de ma part, ce problème est manifestement une application des propriétés du nombre dérivé

Non, fin de la discussion. Vous ne me ferez pas perdre mon temps à vous expliquer des choses que vous ne voulez pas prendre la peine de comprendre. D'autres sont assez bonne pâte pour le faire à ma place.

[albanxiii]

Le but de l'exercice est justement de montrer une technique classique de calcul de limite dans le cas d'une forme indéterminée.
Gg0 a expliqué la marche à suivre pour lever l'indétermination dans le message #3.
Cela fait partie des automatismes à acquérir en calcul.

[maatty]

Bonjour,
cher Andretou,
si je peux me permettre je pense que ceci ("Le problème consiste ici à déterminer la limite de f'(x) quand x tend vers 2+.
AbA2L, sais-tu calculer la dérivée de f(x) ?") est mathématiquement faux. Une fonction peut être dérivable en un point sans que sa dérivée ait une limite en ce point ex: f(x)= x^2 sin(1/x) pour non nul et f(0)=0.
(f' a une limite en a => f dérivable en a mais la réciproque est fausse)

[invite5ac0c3ae]

Vous aviez bien raison, en revisant un peu mes cours et votre aide je pance que j'y suis arrivé:


Et pour


Et donc:


Mais je ne voi pas a quoi ca peux servire?

Merci.

[gg0]

Bonjour.

Il y a un problème dans ta première limite, la limite est +oo; ta quatrième ligne est d'ailleurs très bizarre, il y a une partie de la parenthèse qui ne correspond plus à ce qui est au dessus. N'importe comment, il faudrait vérifier le signe du dénominateur, et le justifier.
Quant à appliquer à x=2 la formule de la dérivée de f, c'est absurde, f n'est pas dérivable en 2 par formule, le calcul de f' que tu fais n'a de sens qua pour x<1 ou x>2. Revois les formules de dérivation avec leurs conditions.

Donc bon travail, mais pas abouti.

Cordialement.

NB : Je ne cois pas qu'on puisse éviter d'utiliser le lien entre x-2 et sa racine carrée.

[invitedd63ac7a]

Je ne sais pas dans quel contexte travaille AbA2l, mais dans le secondaire les divisions par 0 sont incorrectes, quand bien même il aurait 0+ ou 0-.

[gg0]

C'est souvent une manière de noter les limites par application de la règle sur les limites de quotients à numérateur nul et dénominateur non nul. Comme c'est symbolique, ce n'est pas une division.

Cordialement.

[invitedd63ac7a]

Au bac et dans les devoirs mes collègues et moi sanctionnions "sans pitié" ce genre d'écriture sans quoi c'était la porte ouverte à tout et n'importe quoi, ce que nous constations en général. Le "symbolique" était pris par les élèves pour de la simplification et donc moins d'efforts. Après ils vous mettaient du "symbolique" partout. Les choses étant en théorie comprise dans le Supérieur, je suppose qu'on peut travailler dans le symbolique, enfin peut-être...

[andretou]

Vous aviez bien raison, en revisant un peu mes cours et votre aide je pance que j'y suis arrivé:


Et pour


Et donc:

Bonjour AbA2L
C'est bizarre je n'arrive pas à afficher tes lignes intermédiaires de calcul.
Toujours est-il que tu as trouvé la solution, mais il faut tenir compte des remarques de gg0 et Eudea. En effet tu ne dois pas faire apparaître une expression telle que "0+" dans ta fraction, et encore moins au dénominateur (c'est une notation que tu dois garder pour toi au brouillon).
Je te conseillerais de tout mettre au même dénominateur pour écrire f'(x) sous la forme d'une fraction, puis d'écrire quelque chose comme : quand x tend vers 2+, le dénominateur de f'(x) tend vers 0+ tandis que le numérateur tend vers 1 ; f'(x) tend donc vers +00. La limite de f(x) - f(2) / (x - 2) quand x tend vers 2+ est donc +00.

Mais je ne voi pas a quoi ca peux servire?

Tu dois savoir que le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente à ta courbe en ce point. C'est une information essentielle pour tracer ta courbe. Si le nombre dérivé au point d'abscisse 2 tend vers +00, cela signifie que la tangente à la courbe en ce point est verticale.
Sais-tu comment tracer la tangente d'une courbe à l'aide du nombre dérivé ?

[gg0]

Bonjour Eudea-panjcline.

"mes collègues et moi sanctionnions "sans pitié" ce genre d'écriture". Effectivement, et c'est pourquoi j'expliquais à mes élèves qu'ils devaient faire autrement dans les copies rédigées. Mais d'autres diront que dès le départ c'est faux, qu'on n'a pas le droit d’écrire lim avant d'avoir prouvé qu'il y a une limite (*), et tu ne l'as pas remarqué.
Pour ma part, j'ai toujours varié ces exigences suivant les niveaux, ce qui permet aux élèves d'avancer, et justifié les sanctions sur les notes non pas par les risques d'utilisation maladroite ("sans quoi c'était la porte ouverte à tout et n'importe quoi, ce que nous constations en général" ??? Ce n'est pas parce que certains comprennent de travers qu'il faut rejeter un calcul), mais sur l'utilisation ou non d'un théorème de maths.
Ici, il y a traduction effective d'une théorème dans cette notation, très utilisée dans de nombreux domaines.

Cordialement.

(*) ils te montreraient des cas où justement, il n'y a pas de limite mais où on y arrive subrepticement avec l'écriture lim.

[invitedd63ac7a]

@gg0 il est clair qu'on ne voit pas tout à fait les choses de la même façon. Je dirais que c'est heureux, la liberté pédagogique de l'enseignant devant sa classe est un bien qui permet aux élèves, après avoir rencontré différentes façons de voir les choses, de se faire leur propre avis.

[QueNenni]

A deux j'ajoute "un iota" et je fait tendre x vers (2+ un iota) ce qui évite de diviser par zéro.

iota: petite quantité négligeable

[gg0]

QueNenni,

si tu ne négliges pas ton iota, tu n'es pas à la limite. Si tu néglige, c'est que tu le prends égal à 0, et tu divises par 0.

Mais ça ne règle pas le problème, à moins que tu aies un calcul mathématique à nous proposer.

Cordialement.

[gg0]

Eudea-panjcline,

la liberté pédagogique du prof de terminale est fortement limitée par les décisions de ses collègues d'enlever des points sous prétexte que "c'est mal rédigé". Si tu as enlevé des points au bac pour ça, tu as peut-être brimé injustement des élèves qui comprenaient ce qu'ils font.
Inversement, en bac STI, il m'est arrivé de mettre 15 à une copie dont j'étais persuadé que son auteur n'y comprenait rien

Cordialement.