DM TS Fonction exponentielle et derivabilite

[inviteddf96a83]

Bonjour ;
Je bloque sur plusieurs questions de ce DM :
I)
(e^x = exponentielle de x)
Soit la fonction f definie sur R par : f(x)=e^x-x-1. On note (C) sa courbe représentative.
1)Soit a appartient a R
Ecrire en fonction de a une equation de la tangente (T) a (C) au point M d'abcisse a.
2)Le tangente (T) coupe le droite (D) d'equation y = -x-1 en un point N d'abcisse b
Vérifier que b-a=-1
3)En déduire une construction de la tangente (T) a (C) au point d'abcisse 1.5

Pour cette premiere partie j'ai fait la 1) en utilisant (T) = f'(a)(x-a)+f(a) ce qui me donne f'(a)=e^x-1 et (T)=(e^a-1)x+e^a-ae^a-1
Le probleme c'est pour la 2, j'ai aucune idée de comment faire
Et pour la 3, est-ce qu'il faut faire une construction sur le graphique ou faire un calcul ?

4)On admet pour tout reel x: f(x) >ou= 0
a)en déduire pour tout entier naturel n, les inégalité suivantes:
1)e^1/n >ou= 1+ 1/n
2)e^-1/n+1 >ou= 1- 1/n+1

La je vois pas le rapport entre "pour tout reel x: f(x) >ou= 0" et comment on en déduit tout ça ...

Merci
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[thomas5701]

Bonjour à toi,

1) l'équation d'une tangente à un point d'abscisse donné d'une courbe de la fonction f et du type: y=f'(a)(x-a)+f(a)

donc tu dérives f(x) et tu remplaces x par a après tu le places dans la formule.


EDIT: PARDON, j'ai pas lu ton sujet en entier, j'ai pas vu que tu as fais la question 1)

[invite890931c6]

Salut,



calcule que peux tu en déduire ? pareil pour la question suivante.

[inviteddf96a83]

Pour l'instant j'ai:
1)en utilisant (T) = f'(a)(x-a)+f(a) ce qui me donne f'(a)=e^x-1 et (T)=(e^a-1)x+e^a-ae^a-1

2)N a pour coordonées [b;-b-1 ou b(e^a-1)-e^a(a-1)-1]
ce qui donne -b-1 = b(e^a-1)-e^a(a-1)-1
=> b(e^a-1)-e^a(a-1)+b=0
=> en développant be^a-ae^a+e^a=0
=>e^a e facteur : e^a(b-a+1)=0
soit b-a+1=0 <=> b-a=-1

3)b=-1+a ; b=-1+1.5=0.5
Il faut prendre b=0.5 et construire le point N par rapport a la droite (D) , construire le point M par rapport a (C) puis tracer la droite (MN) , cette droite est la tangente (T). (je pense qu'il faut le faire sur le graphique)

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteddf96a83]

4)a)1) f(1/n) = e^1/n -1/n -1
Alors e^1/n -1/n -1>ou=0 (puisque f(x) >ou= 0)
=> e^1/n >ou= 1+1/n
2) Meme chose que le premier avec f(-1/n+1)
b) (e^1/n)^n >ou= (1+1/n)^n
=>e^1 (=e) >ou= (1+1/n)^n
c)Meme technique que pour b !inversion de >ou= par <ou=!

d)Déduire des questions précédentes un encadrement de (1+1/n)^n puis sa limite en +infini.

On a 1) = ((1+1/n)^n <ou= e) et 2) = (e <ou= (1+1/n)^n+1)
d) On a 1) <ou= e <ou= 2) ce qui donne un encardement de e , mais je ne vois pas comment encadrer 1). Pour la limite en +infini je pense que ça tend vers 1.

Merci pour la reponse précédente vegetal mais la je bloque sur la 4)d)

[invite04c54580]

bonjour, je dois faire le même dm et suis bloquée aux deux dernières questions :

On admet pour tout reel x: f(x) >ou= 0
3. En utilisant l’inegalite (1), demontrer que pour tout entier naturel non nul n ,
(1+1/n)^n <= e
4. En utilisant l’inegalite (2), demontrer que pour tout entier naturel non nul n ,
e<= (1+1/(n+1))^n+1
5. Deduire des questions precedentes un encadrement de (1+1/n)^n puis sa limite en +inf

Où j'en suis dans mon raisonnement :

3/ fait
4/ Faut il utiliser la récurrence ?
5/ On déduit des questions 3 et 4 un encadrement de e mais pas de (1+1/n)^n ? pour la limite on utilise le théorème de convergence monotone ?

Merci d'avance

[invite04c54580]

S'il vous plait, un peu d'aide me serais bien utile

[inviteaa75517e]

Salut je trouve la 4/ bizarre car si tu a montrer que pr tt n 3/ est vraie alors elle devrait être vrai pour n+1 ...
et (1+1/n)^n tend vers e... donc essaye d'encadrer par un truc qui tend vers e puis ensuite thm des gendarmes (c est un équivalent classique ^^)

[Resartus]

Bonjour,
Dans l'exercice initial d'il y a 10 ans, l'inégalité à démontrer était :
(1-1/n)<exp(-1/n) ce qui, avec quelques manipulations, permettait l'encadrement cherché

Ici, il y a manifestement des erreurs de recopie et/ou des parenthèses oubliées, mais je ne vois pas lesquelles.

Pouvez-vous vérifier et redonner la bonne formule (ou mieux encore, joindre une photo de l'énoncé complet)

[invite04c54580]

Merci de votre réponse ! pourquoi (1+1/n)^n tends vers e? ( c'est ce que l'on vois à la calculatrice ? )
D'accord donc j'utilise : e-alpha < (1+1/n)^n < e+alpha ? et il faut que je détermine alpha ? faut il pour cela utiliser les résultats des questions 3 et 4 ?

[invite04c54580]

Voici l'énoncé, (je n'ai recopié que les formules )


IMG_1254.jpg

[Resartus]

Bonjour,
Au moins la formule 4 est maintenant juste...
Mais vous êtes censée l'obtenir à partir d'une "inégalité 2)" que vous ne fournissez pas...

Sinon, pour passer de 4 à 5, pensez que (1+1/n)^(n+1) vaut (1+1/n)*(1+1/n)^n.
Les deux "gendarmes" sont e/(1+1/n) et e

[invite04c54580]

L'inégalité 2) est e ^(-1/(n+1)) >= 1-(1/(n+1))
Je suis parvenu à démontrer l'inégalité de la question 4) en développant cette même inégalité ( je suis retombée sur l'inégalité 2) )
Merci pour l'aide à la question 5), c'est bien ce que j'avais fait ( ou du moins j'étais bien sur la bonne piste )