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DM TS Fonction exponentielle et derivabilite



  1. #1
    aurelienbis

    Question DM TS Fonction exponentielle et derivabilite


    ------

    Bonjour ;
    Je bloque sur plusieurs questions de ce DM :
    I)
    (e^x = exponentielle de x)
    Soit la fonction f definie sur R par : f(x)=e^x-x-1. On note (C) sa courbe représentative.
    1)Soit a appartient a R
    Ecrire en fonction de a une equation de la tangente (T) a (C) au point M d'abcisse a.
    2)Le tangente (T) coupe le droite (D) d'equation y = -x-1 en un point N d'abcisse b
    Vérifier que b-a=-1
    3)En déduire une construction de la tangente (T) a (C) au point d'abcisse 1.5

    Pour cette premiere partie j'ai fait la 1) en utilisant (T) = f'(a)(x-a)+f(a) ce qui me donne f'(a)=e^x-1 et (T)=(e^a-1)x+e^a-ae^a-1
    Le probleme c'est pour la 2, j'ai aucune idée de comment faire
    Et pour la 3, est-ce qu'il faut faire une construction sur le graphique ou faire un calcul ?

    4)On admet pour tout reel x: f(x) >ou= 0
    a)en déduire pour tout entier naturel n, les inégalité suivantes:
    1)e^1/n >ou= 1+ 1/n
    2)e^-1/n+1 >ou= 1- 1/n+1

    La je vois pas le rapport entre "pour tout reel x: f(x) >ou= 0" et comment on en déduit tout ça ...

    Merci

    -----

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  3. #2
    thomas5701

    Re : DM TS Fonction exponentielle et derivabilite

    Bonjour à toi,

    1) l'équation d'une tangente à un point d'abscisse donné d'une courbe de la fonction f et du type: y=f'(a)(x-a)+f(a)

    donc tu dérives f(x) et tu remplaces x par a après tu le places dans la formule.


    EDIT: PARDON, j'ai pas lu ton sujet en entier, j'ai pas vu que tu as fais la question 1)

  4. #3
    VegeTal

    Re : DM TS Fonction exponentielle et derivabilite

    Salut,



    calcule que peux tu en déduire ? pareil pour la question suivante.
    "There is no cure for curiosity." Entre -π/2 et π/2...

  5. #4
    aurelienbis

    Cool Re : DM TS Fonction exponentielle et derivabilite

    Pour l'instant j'ai:
    1)en utilisant (T) = f'(a)(x-a)+f(a) ce qui me donne f'(a)=e^x-1 et (T)=(e^a-1)x+e^a-ae^a-1

    2)N a pour coordonées [b;-b-1 ou b(e^a-1)-e^a(a-1)-1]
    ce qui donne -b-1 = b(e^a-1)-e^a(a-1)-1
    => b(e^a-1)-e^a(a-1)+b=0
    => en développant be^a-ae^a+e^a=0
    =>e^a e facteur : e^a(b-a+1)=0
    soit b-a+1=0 <=> b-a=-1

    3)b=-1+a ; b=-1+1.5=0.5
    Il faut prendre b=0.5 et construire le point N par rapport a la droite (D) , construire le point M par rapport a (C) puis tracer la droite (MN) , cette droite est la tangente (T). (je pense qu'il faut le faire sur le graphique)

  6. #5
    aurelienbis

    Question Re : DM TS Fonction exponentielle et derivabilite

    4)a)1) f(1/n) = e^1/n -1/n -1
    Alors e^1/n -1/n -1>ou=0 (puisque f(x) >ou= 0)
    => e^1/n >ou= 1+1/n
    2) Meme chose que le premier avec f(-1/n+1)
    b) (e^1/n)^n >ou= (1+1/n)^n
    =>e^1 (=e) >ou= (1+1/n)^n
    c)Meme technique que pour b !inversion de >ou= par <ou=!

    d)Déduire des questions précédentes un encadrement de (1+1/n)^n puis sa limite en +infini.

    On a 1) = ((1+1/n)^n <ou= e) et 2) = (e <ou= (1+1/n)^n+1)
    d) On a 1) <ou= e <ou= 2) ce qui donne un encardement de e , mais je ne vois pas comment encadrer 1). Pour la limite en +infini je pense que ça tend vers 1.

    Merci pour la reponse précédente vegetal mais la je bloque sur la 4)d)

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    pcrt

    Re : DM TS Fonction exponentielle et derivabilite

    bonjour, je dois faire le même dm et suis bloquée aux deux dernières questions :

    On admet pour tout reel x: f(x) >ou= 0
    3. En utilisant l’inegalite (1), demontrer que pour tout entier naturel non nul n ,
    (1+1/n)^n <= e
    4. En utilisant l’inegalite (2), demontrer que pour tout entier naturel non nul n ,
    e<= (1+1/(n+1))^n+1
    5. Deduire des questions precedentes un encadrement de (1+1/n)^n puis sa limite en +inf

    Où j'en suis dans mon raisonnement :

    3/ fait
    4/ Faut il utiliser la récurrence ?
    5/ On déduit des questions 3 et 4 un encadrement de e mais pas de (1+1/n)^n ? pour la limite on utilise le théorème de convergence monotone ?

    Merci d'avance

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  10. #7
    pcrt

    Re : DM TS Fonction exponentielle et derivabilite

    S'il vous plait, un peu d'aide me serais bien utile

  11. #8
    Pcstar

    Re : DM TS Fonction exponentielle et derivabilite

    Salut je trouve la 4/ bizarre car si tu a montrer que pr tt n 3/ est vraie alors elle devrait être vrai pour n+1 ...
    et (1+1/n)^n tend vers e... donc essaye d'encadrer par un truc qui tend vers e puis ensuite thm des gendarmes (c est un équivalent classique ^^)
    Dernière modification par Pcstar ; 27/10/2017 à 23h52.

  12. #9
    Resartus

    Re : DM TS Fonction exponentielle et derivabilite

    Bonjour,
    Dans l'exercice initial d'il y a 10 ans, l'inégalité à démontrer était :
    (1-1/n)<exp(-1/n) ce qui, avec quelques manipulations, permettait l'encadrement cherché

    Ici, il y a manifestement des erreurs de recopie et/ou des parenthèses oubliées, mais je ne vois pas lesquelles.

    Pouvez-vous vérifier et redonner la bonne formule (ou mieux encore, joindre une photo de l'énoncé complet)
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

  13. #10
    pcrt

    Re : DM TS Fonction exponentielle et derivabilite

    Merci de votre réponse ! pourquoi (1+1/n)^n tends vers e? ( c'est ce que l'on vois à la calculatrice ? )
    D'accord donc j'utilise : e-alpha < (1+1/n)^n < e+alpha ? et il faut que je détermine alpha ? faut il pour cela utiliser les résultats des questions 3 et 4 ?

  14. #11
    pcrt

    Re : DM TS Fonction exponentielle et derivabilite

    Voici l'énoncé, (je n'ai recopié que les formules )


    IMG_1254.jpg
    Fichiers attachés Fichiers attachés

  15. #12
    Resartus

    Re : DM TS Fonction exponentielle et derivabilite

    Bonjour,
    Au moins la formule 4 est maintenant juste...
    Mais vous êtes censée l'obtenir à partir d'une "inégalité 2)" que vous ne fournissez pas...

    Sinon, pour passer de 4 à 5, pensez que (1+1/n)^(n+1) vaut (1+1/n)*(1+1/n)^n.
    Les deux "gendarmes" sont e/(1+1/n) et e
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

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  17. #13
    pcrt

    Re : DM TS Fonction exponentielle et derivabilite

    L'inégalité 2) est e ^(-1/(n+1)) >= 1-(1/(n+1))
    Je suis parvenu à démontrer l'inégalité de la question 4) en développant cette même inégalité ( je suis retombée sur l'inégalité 2) )
    Merci pour l'aide à la question 5), c'est bien ce que j'avais fait ( ou du moins j'étais bien sur la bonne piste )

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