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Problème sur tous les entiers

  1. #1
    trappier74

    Problème sur tous les entiers

    Bonjour à tous !
    Je suis en terminale s spécialité maths et je n'arrive pas à résoudre ce problème :

    On écrit tous les entiers naturels à la suite des autres : 12 345 678 910 111 213... Quel est le 100e chiffre écrit ? le 10000e ?
    Merci d'avance !

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    JPL

    Re : Problème sur tous les entiers

    Lis d’abord http://forums.futura-sciences.com/ma...ces-forum.html et explique ce que tu as essayé de faire.
    Rien ne sert de penser, il faut réfléchir avant - Pierre Dac

  4. #3
    trappier74

    Re : Problème sur tous les entiers

    J'ai compris que l'on devait trouver les reste de ce nombre dans la division euclidienne par 10. J'ai essayé de faire des congruences mais cela ne rimait à rien.
    Je me suis alors dit qu'il fallait peut être raisonné sur l'agencement des nombres, puisqu'ils sont dans l'ordre au début. Mais je ne trouve pas de lien logique après le 9.
    Le problème est que je ne comprends pas quel méthode utilisé. Nous n'avons vu que la division euclidienne et les congruences en cours et je ne vois pas comment les utiliser dans cette exercice...

  5. #4
    gg0

    Re : Problème sur tous les entiers

    Bonjour

    "J'ai compris que l'on devait trouver les reste de ce nombre dans la division euclidienne par 10." ????

    La première chose à faire est d'écrire le nombre 12345678910111213... jusqu'à ce que tu ais compris la méthode de formation et sois capable de savoir à quel rang commence à être écrit un nombre suivant le nombre de ses chiffres. Puis tu inverseras le procédé.
    mais chercher à priori à appliquer un cours sans savoir à quoi est une drôle d'idée ! Tu ne fais pas ça dans la vie courante, tu agis intelligemment. Fais-le aussi en maths (ça devient 1000 fois plus facile !).

    Cordialement.

  6. #5
    trappier74

    Re : Problème sur tous les entiers

    Je crois que j'ai compris ! La suite de chiffre après le 9 correspond à 10, 11, 12,13..., n'est-ce pas ? Faut-il alors compter les nombres composé de deux chiffres, puis de trois etc... pour trouver quel chiffre finit le nombre ?
    Merci beaucoup pour votre aide !

  7. #6
    ID123

    Re : Problème sur tous les entiers

    Oui, c'est ca. Tu vas devoir calculer des valeurs intermédiaires. je te recommande de calculer T(n) = le nombre de positions occupées par les nombres de n chiffres. Trivialement T(1) = 9 (positions "123456789"). T(2) = 2*90 = 180 (positions "101112...etc...9899"). T(3) = 3*900 . je te laisse calculer l'expression T(n) en fonction de n.

    Si tu considères un x et que tu sais qu'il a n chiffres, il est donc après tous ceux de moins de chiffres que lui. Donc il commence après la position U(n) = T(1) + T(2) + ... T(n-1). Je te laisse calculer U(2), U(3), U(4), U(5), ce qui te permettra de résoudre les question posées.

    [note : le calcul théorique de P(x) en fonction de x est plus compliqué, mais il n'est pas demandé dans la cadre de ton exercice.
    On peut trouver où n est le nombre de chiffres de x.]

    Alors, la position de x que je note P(x), est P(x) = U(n) + V(n) où V(n,x) est la position de x comptée à partir du début de la séquence des nombres à n chiffres, et n le nombre de chiffres de x. V(n,x) est très simple à trouver. Donc P(x) aussi.

    par exemple : x = 500
    3 chiffres, il vient donc après U(3) = T(1)+T(2) = 189, somme des positions occupées par les nombres à 1 et 2 chiffres.
    Le 1er nombre à 3 chiffres est 100, 500 a donc 400 nombres à 3 chiffres avant lui ==> sa position est donc 3*400 + 189 +1 = 1390. les chiffres en position 1390, 1391, 1392 sont donc 5,0,0.

    Pour résoudre ton problème, tu te servira des calculs de U(n) déjà faits pour deviner le nombre de chiffres du nombre qui occupe la position 100 (et 10000). Celà fixera un paramètre de la formule P(x) qui dès lors deviendra triviale.

    bon travail.
    jacknicklaus

  8. #7
    trappier74

    Re : Problème sur tous les entiers

    Merci beaucoup pour votre aide ! J'ai enfin compris comment réussir cette exercice !

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