Bonsoir
Je viens d’essayer de comprendre et d’appliquer la méthode de Cardan pour la résolution de certaines équations de degré 3. J’ai réussi pour certaines, mais je bloque sur une ... x^3-7x-3=0. Je tombe en effet sur une équation de degré 2 n’admettant aucune racine réelle ... Or il semblerait que cette équation de degré 3 admette trois racines réelles ... Est-ce que je me suis trompé? Ou bien est-ce que je n’ai pas compis quelque chose?
Merci d'avance
Bonne soirée
Ca fait bien longtemps que je n'ai pas pratiqué Cardan, mais je crois me souvenir que 3 racines réelles de l'équation de degré 3 n'entraîne absolument pas 2 racines réelles de l'équation de degré 2 issue de la méthode. (il faut résoudre l'équation de degré 2 dans C)
Dernière modification par jacknicklaus ; 08/01/2018 à 20h13.
There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.
En fait de ce que j’ai vu, on trouve U et V (je ne sais pas si mon image a été validée) puis finalement une des racines est la somme de leurs racines cubiques. Or ici, je ne trouve qu’une racine complexe pour le degré 2, je devrais donc prendre sa racine cubique ?
L'équation du second degré a toujours deux racines qui sont les valeurs de u3 et v3.
IL faut en déterminer les racines cubiques, et il n'est pas facile de trouver une racine cubique pour un nombre complexe… par contre les deux autres sont immédiates à écrire.
On obtient ainsi 3 valeurs pour u et 3 valeurs pour v, soit 9 valeurs pour le couple (u,v). Il faut alors sélectionner les couples convenables d'après la valeur du produit uv.
Ici, comme l'équation du second degré est à coefficients réels, les valeurs de u3 et v3 sont conjuguées, donc il va y avoir des couples (u,v) où u et v sont conjugués, d'autres non.
Le nombre de racines réelles est le nombre de couples (u,v) formés de deux nombres complexes conjugués parmi les 3 que l'on sélectionne par la valeur de uv.
Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
Bonsoir
Je ne suis pas sûr d’avoir compris d’où sortaient les 3 valeurs de u et les 3 de v ...
Si on trouve par exemple :, il est facile de voir, avec un peu d'habitude et la forme trigonométrique, que :
Mais il y a 3 racines en
Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
Merci beaucoup, je me pencherai sur ça demain ! Bonne soirée
Bonsoir
J’ai ici deux nombres complexes, r1 et r2, dont j’aimerais déterminer les racines cubiques. Comment devrais-je ici procéder ?
Merci d´avance
Bonne soirée
Je résume :
J'ai prisLes solutions de l'équations sont les :
Le plus simple est de calculer les racines cubiques de
On écrit donc :le module facilement calculable :
l'argument pas sympathique ; une détermination est :
Les trois racines cubiques de
Elles sont de la forme
Comme on a :
En prenant successivement les trois valeurs possibles de
Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
Bonjour
Merci pour ces explications ! J’ai donc essayé de les appliquer:
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Or le résultat que je trouve (j’ai juste cherché une racine pour le moment) semble ne pas fonctionner, même en rajoutant 4/3 (je viens de voir que la dernière ligne comporte une erreur que j´ai oubliée de corriger, mais qui n’est pas à l´origine du problème) du fait du changement de variable du début ... Je ne vois pas où j’ai pu faire une erreur ...
Merci d’avance
Bonne journée
Bon, finalement j'avais juste oublié de diviser l'angle par 3 ... OopsMerci beaucoup pour toutes vos réponses en tout cas !
Bonne journée
Une première remarque :
Une seconde remarque : lorsqu'on écrit un nombre complexe sous deux formes
Le problème vient du calcul de l'argument
La fonction arccosinus est à valeurs dans
La fonction arcsinus est à valeurs dans
La fonction arctangente est à valeurs dans
Si un nombre complexe est dans le premier cadran :
Si un nombre complexe est dans le deuxième cadran :
Si un nombre complexe est dans le quatrième cadran :
Cas délicat : si un nombre complexe est dans le troisième cadran :
Dans le cas qui nous occupe, on est systématiquement confronté à deux nombres complexes
En faisant ce choix, dans le premier exemple, j'avais à trouver la forme trigonométrique d'un nombre complexe du premier cadran, et j'avais calculé l'argument avec un arctangente.
Par contre, dans ce nouvel exemple, on travaille avec :
Les trois racines de l'équation initiales sont donc :
Cette question m'a permis de constater que, l'un des deux nombres conjugués
Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
Bonjour !
Merci, je venais justement de me rendre compte que ma solution était en réalité erronée ... Je ne savais pas que arcsinus, arccosinus et arctangente avaient une détermination dans ces différents intervalles, merci de me l'apprendre
En tout cas, merci pour tout le temps que vous avez passé pour me répondre et m'éclairer !
A bientôt et bonne fin d'après-midi
