Suites

[leos01]

Bonjour à tous !
Je suis sur un exercice de maths depuis 2 jours et je n'arrive toujours pas à répondre aux 3 questions qui me reste si quelqu’un pourrai m'aider s'il vous plaît :

I1) De combien de façon différentes peut-on monter un escalier à 1 marche , 2 marches , 3 marches , 4 marches , 5 marches ? Sachant qu'on peut monter une ou deux marche à la fois

Ma réponse :
1 marche : 1 façon
2 marches : 2 façons
3 marches : 3 façons
4 marches : 5 façons
5 marches : 8 façons

on définit la suite (Un)n>=0 tel que pour n>=0 Un est le nombre de façons différentes de monter un escalier à n marches

I2) Montrer que pour tout n>= 0 , on a Un+2=Un+1+Un

Ma réponse :
1marche : Un+1= Un + 0Un
2 marches: Un+1+2Un
3marches : Un+3=Un+1+2Un
..

On admet que pour tout tout n >=0 , Un = α X (1+√5)^n / 2^n + ϐ(bêta) X (1-√5)^n/2^n , avec α , ϐ des réels .

et c'est sur ses 3 questions que je bloque :

1. Montrer que pour tout n >=0 , on a Un+2+Un
2.Calculer α et ϐ à partir de I1
3. En déduire la formule explicite donnant l'expression de Un en fonction de n

Merci d'avance
-----

[gg0]

Bonjour.

Ta réponse à la question I2 n'est pas correcte, on te demande : "Montrer que pour tout n>= 0 , on a U_n+2=U_n+1+U_n"; tu ne l'as pas montré pour tout n, ni même justifié pour une ou deux valeur de n. D'ailleurs, c'est n>=0, donc il te faut envisager aussi U₀. De combien de façons peux-tu "monter" (passer) s'il y a 0 marche ? Ensuite, il te faut justifier cette relation en imaginant dans ta tête un escalier à n+2 marches (tu ne connais pas n, mais c'est un entier), puis regardant comment tu peux arriver en haut.

Pour la suite, difficile de t'aider avec ce que tu écris : "1. Montrer que pour tout n >=0 , on a Un+2+Un" ?? Ça ne veut rien dire !
Si c'est "1. Montrer que pour tout n >=0 , on a U_n+2=U_n+1+U_n, il suffit de calculer U_n+1+U_n en réduisant au même dénominateur et factorisant les (1+√5) et les (1-√5). Puis évidemment, on comparera avec U_n+2.

Cordialement.

[leos01]

Bonjour merci pour votre réponse , effectivement je n'ai pas fais pour U0 :
Il n'y a aucune façon de monter un escalier à 0 marche

Voici ma justification :
0 marche :Un+0= Un+0 + 0 Un
1 marche : Un+1=Un+1 + 0Un
2 marches : Un+2=Un+1+1 Un ou 2 Un +0 Un
3 marches:Un+3=Un+1 + 2Un ou Un+2+1Un
4 marches:Un+4=Un+1 + 3Un ou Un+2+2Un
5 marches :Un+5=Un+1 + 4 Un ou Un+2+3Un

je suis partis du principe Un+1 et Un+2 car on peux monter au maximum deux marches ?

oui je l'ai justifier n+2 marches : 1+1 (on peux monter 1 marche par une marche)
2 (ou 2 marches en même temps, vu que c'est autorisé )

Effectivement j'ai fais une erreur de frappe la question est : Montrer que pour tout n>=0 , on a Un+2=Un+1+Un (c'est la même question que le 1I )
Pour calculer Un+1+Un faut-il remplacer par U2 par exemple ( U2+1+U2 = 2+1+2 = 5 ) ? je ne comprends pas

Merci encore

[gg0]

Désolé, mais dans ta justification tu écris des égalités sans qu'on sache pourquoi, ni quel rapport elles ont avec le fait de monter les marches. A aucun moment tu n'as utilisé l'énoncé !Sans parler des phrases sans signification du genre "je suis partis du principe Un+1 et Un+2 car on peux monter au maximum deux marches" !! Un+1 est un nombre, pas un principe.

Il te suffit, pour la question I1, d'expliquer (avec des phrases en français, bien construites) clairement comment tu obtiens U1=1, puis U2=2, puis U3=3, puis U4=5; arrivé là, une méthode générale est apparue, et tu peux l'appliquer pour trouver U5=8. Et t'en servir pour la question I2. Où tu partiras d'un escalier à n+2 marches, avec n un nombre entier non précisé.
Quand on veut s'expliquer, on fait des phrases. Puis, éventuellement, on réalise les calculs dont on a parlé et on retraduit leurs résultats. En bon français.

Pour la question 1 suivante:
"faut-il remplacer par U2 ?" Heu ... n c'est 2 ? Relis l'énoncé, que te dit-on de n ? "On admet que pour tout tout n >=0". Donc n est n'importe quel nombre, ça peut être 2, mais c'est seulement un cas de valeur de n. Tu va essayer avec tous les entiers ? Avec n=2598255475992014 ?
Non, n va rester une lettre pour traiter tous les cas à la fois. Tu dois utiliser Un = α X (1+√5)^n / 2^n + ϐ(bêta) X (1-√5)^n/2^n , en déduire comment s'écrit Un+1, remplacer dans Un+1+Un et trouver que ça fait exactement la valeur de Un+2 (donnée par cette formule).

Bon travail !

[A voir en vidéo sur Futura]

[leos01]

Voici la question I1 rédigé :

*On obtient U1= 1 façon car elle possède qu'une marche donc pas d'autre solution
*On obtient U2= 2 façons car elle possède deux marches , dont on peut monter :
-marche par marche
ou
-deux marches en même temps
soit un total de deux façons

En calcul cela donnerai : 1+1 ou 2

*On obtient U3= 3 façons car elle possède trois marches , dont on peut monter :
-marche par marche
-deux marches + une marche
ou une marche + deux marches

soit un total de 3 façons , en calcul cela donnerai : 1+1+1 ; 2+1 ; 1+2

*U4= 5 façons car elle possède quatre marches , dont on peut monter :
-marche par marche
-de deux en deux
-une marche , deux marches et encore une marche
-une marche , une marche , deux marches
soit un total de 5 façons en calcul cela donnerai : 1+1+1+1 ; 2+2 ; 1+2+1 ; 1+1+2 ; 2+1+1

*U5 = 8 façons car elle possède cinq marches dont on peut monter :
-marche par marche
-deux marches , deux marches , une marche
-une marche , deux marches , deux marches
-une marche , une marche , une marche , deux marches
-deux marches , une marche , une marche, une marche
-une marche , une marche , deux marches , une marche
-une marche , deux marches , une marche , une marche
-deux marches , une marche , deux marches

soit un total de huit façons en calcul cela donnerai :1+1+1+1+1+1+1+1 ; 2+2+1 ; 1+2+2 ; 1+1+1+2 ; 2+1+1+1 ; 1+1+2+1 ; 1+2+1+1 ; 2+1+2

Effectivement j'ai trouvé une méthode qui consiste à additionner les deux termes avant , exemple :
Pour avoir U3 on additionne les 2 avant : 1 façon + 2 façons qui est bien égal à 3 façons
Pour avoir U4 on additionne les 2 avant: 3 façons + 2 qui est bien égal à 5 façons
Pour avoir U5 on additionne les 2 avant : 5 façons + 3 façons qui est bien égal à 8 façons

si je continue avec cette méthode et que je veux monter un escalier à n+2 marches cela me donnerai : n+2 = n+1 +n
On additionne les 2 avant : avant n+2 -> n+1 et avant n+1 -> n
d’où la formule Un+2=Un+1+Un

(c'est ce que j'ai compris )

Pour la question 1 j'ai compris qu'il faut :
-calculer Un+1 ; Un
-Qu'on additionnera pour trouver la même formule que un+2

Mais pour calculer ce Un il faut alpha et bêta on les calcul à partir de quelle formule?
Et j'ai une autre question: qu'est ce qu'il y a avant Un? (Avant Un+2 il y a Un+1, avant Un+1 il y a Un ,mais avant Un il y a quoi ? s'il vous plaît)

Merci déjà pour vos conseil et votre temps

[gg0]

"Effectivement j'ai trouvé une méthode qui consiste à additionner les deux termes avant "
Oui, c'est exactement ce qu'on te demande de prouver. Il ne suffit pas de le dire, il faut expliquer pourquoi ça marche (examine comment on arrive à la dernière marche). Toi tu te contentes de dire : ça a marché avant, ça va marcher encore. Avec cette idée-là, évite de marcher en direction d'une falaise

"pour calculer ce Un il faut alpha et bêta on les calcul à partir de quelle formule?" On les calcule après; donc tu travailles sans connaître leur valeur (tu n'en as pas besoin), avec les lettres (tu fais de l'algèbre depuis un bon moment, calculer avec des lettres, ce n'est pas nouveau).

Cordialement.

[leos01]

Bonjour !

Je comprends qu'il ne suffit pas de le dire , j’ai essayé de démontrer, je sais pas si c’est bon :
Si on veut 2 marches: c’est 2 fois une marche donc le nombre de façon multiplié par 2.
Si on veut 3 marches: c’est 2 marches + 1 marche donc 2 façons + 1 façon qui est bien égal à 3 façons .

j’ai aussi remarquer avec la formule Un+2=Un+1+Un je sais pas si sa peut aider :
si on fait passé Un+1 et Un de l’autre côté du égal sa nous donne :
Un+2-Un+1-Un , démonstration : Un+2=3 Un+1=2 Un=1 , Un+2-Un+1-Un → 3-2-1=0
pareil pour les autres si on prend U5 cela nous donne*: U5-U4-U3 → 8-5-3 = 0
cela me parais logique mais je ne sais pas si cela peut servir ..

pour la question 1 j'ai essayé aussi et voici ce que cela donne :

Un+1= Un+ Un-1

Un = α X (1+ √5)^n/2^n + β X (1-√5)^n /2^n

j'ai " factoriser " Un :

(1+√5)^n/2^n (1-√5)^n/2^n

1/2^n (√5^n-√5^n)

Un= 1/2^n

Un+1+Un = Un+Un-1/1 + 1/2^n

Un+Un-1 X 2^n /1 X 2^n 1X1/2nX1

je ne sais pas si c'est bon , c'est pas si simple d'expliquer sans les fractions

Merci

[gg0]

Toujours pas de preuve pour le cas général, question I2. Pourquoi U2548=U2547+U2546 ?
Je t'ai donné l'idée : regarder, pour un escalier de n+2 marches comment on arrive à la dernière marche. Maintenant, si tu ne veux pas réfléchir toi-même, attends la correction de ton prof, si tu la comprends ...

Ton calcul sur Un est absurde. Ce que tu obtiens est faux déjà pour n=1. Là tu deviens un peu ..., tu fais n'importe quoi pour dire "je fais quelque chose" ! Je t'ai donné la méthode, tu ne veux pas essayer, laisse tomber ...

[leos01]

j'ai regardé , c'est pas je fais quelque chose pour dire que je travail mais je ne vois pas de solution désolé

[jacknicklaus]

Un indice :

pour franchir n+2 marches, il y a deux possibilités exclusives l’une de l'autre :

A) on pose le pied sur la marche n+1
B) on ne pose jamais le pied sur la marche n+1


Bon travail...

[leos01]

Bonjour merci pour votre indice:

si on veut monter n+2 marches , comme vous l'aviez dit il y a deux possibilités :
A) On pose le pied sur la marche n+1
B) On ne pose jamais le pied sur la marche n+1

commençons par le A:

Pour monter n+2 marches on saute directement deux marches c'est à dire qu'on arrive à n+1 puis on monte 1 marche pour arriver enfin à n+2. C'est a dire qu'on va monter 2marches puis une .
En calcul cela donnerai 2+1: si on fait sa pour les premières marches sa donnerai : 3 marches = 2 marches + 1 marche
soit 3 marches = façon de 2 marches + façon de 1 marche
3 marches = 3 façons
Passons maintenant au B:

Pour monter n+2 marches on pose le pied sur n , puis on saute deux marches pour arriver sur n+2 . C'est à dire qu'on va monter une marche puis deux .
En calcul cela donnerai 1 + 2 : si on fait cela pour les premières marches cela donnerai : 3 marches = 1 marche + 2 marches
soit 3 marches = façon de 1 marche + façon de 2 marches
3 marches = 3 façons


vu que c'est n marches on ne sait combien marches est composé l'escalier , on prendra les façons des premières marches n fois

On fait de même pour les suivants car c'est une suite .


Si c'est n+2 marches c'est a dire qu'on est obligé de passer par n marche ou n+1 marche c'est à dire les deux marches avant, donc c'est peut-être pour cela qu'on est obligé de prendre les 2 façons qui le précède ?

Si ont veut quatre marches on est obligé de prendre les deux façons précédentes 3+2 , car si on prend une autre au hasard par exemple 3+1 les façons ne correspondent pas .
Ces résultats appartiennent à la suite de Fibonacci c'est pour cela qu'on additionne les deux termes précèdent.
Voici ce que j'ai compris . J’espère que c'est la réponse que vous attendiez .

Merci encore bonne journée à vous .

[gg0]

Tu n'as pas l'air de comprendre que n est un nombre qui peut être très grand, par exemple 1254. Je réécris ce que tu dis :
"Pour monter 1254+2 marches on saute directement deux marches c'est à dire qu'on arrive à 1254+1 puis on monte 1 marche pour arriver enfin à 1254+2. C'est a dire qu'on va monter 2marches puis une "
Donc tu dis qu'en sautant 2 marches on arrive à le 1255-ième marche ! Tu te rends compte de ce que tu écris ?? Et le reste est du baratin qui cherche à cacher le fait que tu ne comprends même pas de quoi il s'agit. Le plus drôle est "Ces résultats appartiennent à la suite de Fibonacci" !!! alors que tu ne parles, encore et toujours que des tout petits escaliers que la question I1, que tu refuses de traiter le cas général de tous les escaliers.

Combien de façons d'arriver à la 1256-ième marche ?
Soit on y arrive en montant une marche, donc en arrivant à la 1255-ième (combien de façons ?) et on monte de une seule marche.
Soit on y arrive en montant 2 marches à la fois, donc en arrivant à la 1254-ième (combien de façons ?) et on monte de 2 marches.

Et tu as des notations pour noter ces différentes façons.

[jacknicklaus]

Canevas de solution. A toi de compléter :

Si on veut monter n+2 marches il y a deux possibilités exclusives l'une de l'autre :
A) On pose le pied sur la marche n+1
B) On ne pose pas le pied sur la marche n+1


Appelons An le nombre de façons de monter n+2 marches en posant le pied sur la marche n+1, et Bn le nombre de façons de monter n+2 marches sans poser le pied sur n+1
Par définition de la suite Un, et comme les deux cas A) et B) sont exclusifs et représentent la totalité des possibilités, on a : ??? = An+ Bn

Cas A) : Par définition de la suite Un, il y a ???? facons de monter l'escalier et de s'arrêter sur la marche n+1. Or depuis la marche n+1, il n'y a qu'une seule manière de compléter la suite des mouvements pour atteindre la marche n+2 : franchir la dernière marche. En conséquence, An = ???

Cas B) : Si on veut aller à la marche n+2 sans avoir posé le pied sur la marche n+1, la seule possibilité est de poser le pied sur la marche n, puisque les seuls pas autorisés sont 1 et 2 marches. Par définition de la suite Un, il y a ???? facons de monter l'escalier et de s'arrêter sur la marche n. Or il y a à priori 2 manières de compléter la suite des mouvements pour atteindre la marche n+2 depuis la marche n : franchir l'avant dernière marche puis la dernière marche, ou franchir 2 marches. Or la première possibilité est à exclure car ????????????. En conséquence, pour le cas B, il n'y a qu'une seule manière de compléter la suite des mouvements pour atteindre la marche n+2. EN conséquence, Bn = ???


Finalement : ??? = ??? + ???