suites récurrentes

[lola3]

Bonsoir,

Je suis bloquée sur cet exercice concernant les suites.
J'ai fait la question 1 en me servant d'un raisonnement par récurrence. Ensuite, pour la question 2a, j'ai pensé à faire Un+1 - Un= f(Un) - Un et sachant que f est croissant alors Un+1 - Un >0 donc la suite est croissante. Pour la question 2b, on a démontré auparavant que Un est croissante alors il faut montrer qu'elle est majorée. Mais là, je ne voit pas comment faire. Si quelqu'un pouvait m'aider! s'il vous plait. De même que pour la question 3, je ne sais pas si je peux faire comme pour la question 2a.

Merci d'avance

Cordialement
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[God's Breath]

Pour la question 2a, tu te trompes : croissante, ça ne se traduit pas : , mais par :

si , alors .

On ne demande pas de prouver que la suite est croissante, mais qu'elle est monotone : ce n'est pas la même chose.

Pour la 2b, si la suite a ses termes dans l'intervalle [a,b], ne vois tu-pas la plus petite et la plus grande valeur possible ?

Pour la 3, ce sera un peu comme la 2a, mais il faut d'abord bien réfléchir à la 2a.

[lola3]

Merci pour votre aide,
Du coup cela voudrait dire que f(Un) < f(Un+1) dc Un+1 < Un+2, mais je ne comprend pas pourquoi on ne peut pas dire qu'elle est croissante?
Et pour la 2b, la suite serait majorée par b et minorée par a?

[jacknicklaus]

Merci pour votre aide,
Du coup cela voudrait dire que f(Un) < f(Un+1) dc Un+1 < Un+2, mais je ne comprend pas pourquoi on ne peut pas dire qu'elle est croissante?

Parcequ'il n'y a aucune raison pour que U1 >= U0. Et donc aucune raison que Un soit croissante.
Avec F croissante, tu ne peux démontrer par récurrence que la monotonie de Un. Ne pas confondre croissance de f et croissance de Un.

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

Et pour la 2b, la suite serait majorée par b et minorée par a?

Tout simplement.

[lola3]

D'accord, et dans mon initialisation je dois donc faire deux cas, l'un où je dis que U0>U1 et un autre cas où U1<U0?

[God's Breath]

Oui, mais tu peux détailler le premier cas, et aller plus vite dans le deuxième puisque le raisonnement est le même.

[lola3]

D'accord, merci!
Pour la partie 2, j'ai trouvé que f(x)= (-x²+2)/2x donc la dérivée est f'(x)= (-x²-1)/2x²
et donc je trouve en racine z1=i et z2=-i
donc la fonction est croissante de [-i;0[ et ]0,i] et décroissante de - l'infini à -i et de i à - l'infini mais je ne suis pas sûr que ce soit cela car quand j'affiche la courbe à la calculatrice je n'ai pas le même résultat.

Et pour la question 2, j'aurais pris de 0 exclu à + infini mais je ne suis pas sûr

[God's Breath]

Tu as déjà vu des racines non réelles pour des dérivées où x est un nombre réel ?

Quels sont les éléments des intervalles [-i;0[ et ]0,i] ?

Réfléchis bien : f' est de signe constant…

[lola3]

x²>0
x²+1>1
-(x²+1)<-1<0

et 2x²>0

donc f'(x)<0 dc la f(x) est décroissante ?

[God's Breath]

Pour la partie 2, j'ai trouvé que f(x)= (-x²+2)/2x

Après vérification, tu prends un mauvais départ…

[ansset]

je ne comprend le calcul, selon l'énoncé.


ça ne correspond pas ce à qui je lis plus haut sur la fonction f.

[lola3]

pardon, je me suis trompé en recopiant l'énoncé.
donc je trouve f'(x)=(x²-2)/4x²
et ainsi, la fonction est décroissante de ]-√2,0[ et ]0,√2[ et croissante de - l'infini à -√2 et de √2 à + infini

et pour la question 2 je ne voit pas trop comment faire

[God's Breath]

La partie I donne des propriétés de la suite lorsque la fonction f est croissante, ou décroissante.

Pour étudier la suite, il sera utile de connaître le sens de variation de f sur I : tu as donc deux intervalles possibles, et il faut justifier le choix que tu fais de l'un des deux.

[lola3]

on pourrait prendre comme intervalle de ]0, √2] car la suite commence à U0=3/2 de plus la partie 1 nous fait travailler sur des suites monotones or si on prend de ]√2, +infini[ la suite n'est pas monotone, est ce que cette justification est correcte?

Pour la 3, la suite est monotone et son éventuelle limite serait √2?

[God's Breath]

Quelle est la définition d'un intervalle stable ?

[ansset]

je rappelle qu'on demande un intervalle stable dans lequel appartient U0=3/2

[lola3]

Ah oui, donc l'intervalle serait [√2, +infini[

[Merlin95]

Quel est le domaine de définition de f ?

[God's Breath]

Ah oui, donc l'intervalle serait [√2, +infini[

Ca, c'est de la divination, pas des mathématique.

La seule façon de répondre mathématiquement à la question, c'est de donner la définition d'un intervalle stable, et de vérifier quel est l'intervalle qui satisfait cette définition.

[ansset]

j'ajoute qu'il semble ( sans que cela soit explicite ) que l'intervalle I du 2) soit défini à l'instar de 1) ( car l'exercice 2) est présenté comme une application du 1))
dans ce premier I est un intervalle [a;b]

[jacknicklaus]

et j'ajoute qu'il n'y a pas qu'un seul intervalle stable par f, mais une infinité.

Mais il faut en prendre un qui convient aux demandes de l'énoncé, c'est-à-dire qu'il contient U0 = 3/2

indices pour ta réflexion
3/2 > √(2)
f(√(2)) = √(2)
f(3/2) < 3/2
f est croissante pour x > √(2)

[lola3]

Vu que 3/2>√2 et que la fonction f est croissante pour x>√2 alors f(3/2)>f(√2) et dc on doit prendre comme intervalle x>3/2 pour avoir un intervalle stable par f? je ne suis vraiment pas sûr que ce soit cela

[Merlin95]

Si tu prends , donc et I n'est donc pas stable pour f.

Tu dois reprendre la définition d'un ensemble stable pour une fonction donnée au début de l'exercice et voir par exemple les pistes de jacknicklaus.

(De plus, l'exercice suggère un intervalle de type [a;b] (a,b, réels))

[jacknicklaus]

Vu que 3/2>√2 et que la fonction f est croissante pour x>√2 alors f(3/2)>f(√2) et dc on doit prendre comme intervalle x>3/2 pour avoir un intervalle stable par f?

non, justement. Si la borne inférieure de ton intervalle est 3/2, comme f(3/2)<3/2 (vérifie le), aucun intervalle de type [3/2, a] n'est stable...
en revanche, .... si ta borne inférieure est √2 ..... j'dis çà, j'dis rien...

[lola3]

Ah oui je me suis embrouillé donc si je prend x>√2 alors 3/2 appartient à cette intervalle et f(3/2) appartient également à cet intervalle

[jacknicklaus]

oui, et donc, quel intervalle [a,b] prends tu ?

[lola3]

du coup, elle est majorée par √2

[ansset]

non,
relis tranquillement les réponses qui t'ont été données.
tu y as toutes les indications.
cordialement.

[ansset]

et notamment le résumé de jacknickaus dans son post #22.