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fonction minorée/bornée

  1. #1
    BaptisteBaptiste

    fonction minorée/bornée

    Bonjour,

    Sur un exercice, voilà ce que l'on demande: Montrons que la fonction f définie sur (1;4) par f(x)= x2 + -4x - 7 est bornée.

    Par contre, n'ayant pas le signe " supérieur" ou = à ", je vais par conséquent écrire "< ou >".

    La correction donne:

    1<x<4
    1<x2<16

    Et:

    1<x<4
    -16<-4x<-4

    En additionnant membre à membre, on a pour tout "x" appartenant à (1;4) -22 < x2 - 4x -7 < 5.

    f est donc minoré par -22 et majoré 5.

    Voici ma question: D'ou sortent le "-22" et le "5" ?

    Merci,

    Cordialement.

    -----


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  3. #2
    ansset

    Re : fonction minorée/bornée

    par simple utilisation des règles suivantes (vues en cours )
    ( quel que soit le signe de c )


    ps: je n'ai pas vérifié le calcul
    Dernière modification par ansset ; 02/02/2018 à 20h44.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  4. #3
    BaptisteBaptiste

    Re : fonction minorée/bornée

    Oui d'accord, mais je ne comprends toujours pas.

    1<x<4

    Ensuite, on élève au carré chaque membres:

    1*1< x*x<4*4

    1<x2<16

    Je ne vois pas d'ou sort le -22 ?

    Cordialement

  5. #4
    pm42

    Re : fonction minorée/bornée

    Relis la définition de f peut-être ?

  6. #5
    BaptisteBaptiste

    Re : fonction minorée/bornée

    Cet à dire ? L'énoncé est juste.

    Je ne comprends pas, désolé

  7. #6
    gg0

    Re : fonction minorée/bornée

    1-16-7=-22

    On a x²>=1
    -4x >=16
    -7 >=-7
    Et on additionne.

    Cordialement.

  8. #7
    BaptisteBaptiste

    Re : fonction minorée/bornée

    Je ne comprends toujours pas. Au risque que vous pensiez que je fais exprès et que cela est du à de la mauvaise volonté, vous pouvez me proposer d'autres exercices. Avec les fractions, je n'ai pas trop de mal, mais sur ce coup, pour le polynôme, je ne comprends pas.

    Si m est le minorant et M le majorant, je comprends cela ( qui est peut-être fait d'ou mon incompréhension) m=1<x2<16 et M=-16<-4x<-4. C'est deux fonctions "bornent" f(x).

    Cordialement.

  9. #8
    fartassette

    Re : fonction minorée/bornée

    Bonsoir,
    Je pense que tout a été dit voici une présentation élémentaire, pour faciliter vôtre compréhension :

    (1)


    (2) (3) (4)



    (1)+(4)

    bonne continuation

  10. #9
    gg0

    Re : fonction minorée/bornée

    "Je ne comprends toujours pas." (Baptistebaptiste)
    Qu'est-ce que tu ne comprends pas ? le fait d'additionner les inégalités de même sens ? Le fait qu'on parle de f(x) et que tu ne sembles pas avoir revu ce que c'est ? le fait que x²-4x-7=x²+(-4x)+(-7) ? Le fait que 1+(-13)+(-7)=-22 ?

    Ça ne sert jamais à rien de dire "Je ne comprends pas". Si on ne dit pas exactement là où on ne comprend pas, on ne peut pas être aidé.

    Cordialement.

  11. #10
    BaptisteBaptiste

    Re : fonction minorée/bornée

    Merci fartassette.

    En faite, je n'ai pas compris la méthode pour trouver le minorant et/ou le majorant. On semble "construire" une nouvelle fonction qui se rapprochera de f(x) en partant d'une inégalité de base. Justement, comment partir à la base ?

    Cordialement.

  12. #11
    fartassette

    Re : fonction minorée/bornée

    Citation Envoyé par BaptisteBaptiste Voir le message
    Merci fartassette.

    En faite, je n'ai pas compris la méthode pour trouver le minorant et/ou le majorant. On semble "construire" une nouvelle fonction qui se rapprochera de f(x) en partant d'une inégalité de base. Justement, comment partir à la base ?

    Cordialement.

    On construit la fonction en question en partant d 'un intervalle fermé d'après l'énoncé.D'ailleurs pour éviter toutes sortes de confusion, l'inégalité de base que tu cites n'est rien d 'autre que nôtre intervalle de départ.

    si j'écris : peut s'écrire

    En espérant t'avoir aidé

  13. #12
    gg0

    Re : fonction minorée/bornée

    Ce n'est pas "une nouvelle fonction", mais une constante (pas de x dans -22). As-tu lu ton cours, ce que veut dire "f est minorée" ?

  14. #13
    pm42

    Re : fonction minorée/bornée

    Pour compléter ce que dit gg0 et répondre à :

    Citation Envoyé par BaptisteBaptiste Voir le message
    En faite, je n'ai pas compris la méthode pour trouver le minorant et/ou le majorant. On semble "construire" une nouvelle fonction qui se rapprochera de f(x) en partant d'une inégalité de base. Justement, comment partir à la base ?
    On prend chacun des termes de ta fonction qui est une suite d'additions. On minore chacun puis on utilise les formules sur l'addition et les inégalités déjà rappellées par gg0.
    Dans le cas présent, tu as donc 3 valeurs constantes à additionner pour trouver ton -22.

  15. #14
    BaptisteBaptiste

    Re : fonction minorée/bornée

    Bonjour,

    Merci pour vos réponses. En faite, il me manquait la partie du cours " ajouter ou multiplier " des inégalités membres par membres.

    Pour l'addition:

    a<b et c<d alors a+c < c+d

    Et pour la multiplication:

    a<b et c<d alors a*c<b*d

    Je vais maintenant refaire l'exercice.

    GG0, quand on dit que f est minoré, cela signifie que la courbe de f ne descendra pas en-dessous de la droite d'équation x=a sur un intervalle considéré.

    Cordialement.
    Dernière modification par BaptisteBaptiste ; 03/02/2018 à 10h56.

  16. #15
    pm42

    Re : fonction minorée/bornée

    Les règles ont été données par ansset dès la 1ère réponse.
    Et celles que tu donnes pour la multiplication ne prennent pas en compte les nombres négatifs. Elles sont fausses dans ce cas.

  17. #16
    BaptisteBaptiste

    Re : fonction minorée/bornée

    Bonjour pm42, je ne pouvais pas savoir qu'il parlait d'ajouter ou multiplier membres par membres des inéquations. Cela a été ensuite évoqué par gg0 ( additionner des inégalités), je me suis donc penché sur la question.

    Concernant les règles de calculs, je m'excuse, cela n'était pas précisé sur mon cours. En revanche, pour les additions, le cours a bien précisé que l'on ne pouvait pas retrancher des inégalités membres par membres.

    Merci à vous,

    Cordialement.

  18. #17
    ansset

    Re : fonction minorée/bornée

    Citation Envoyé par BaptisteBaptiste Voir le message
    Concernant les règles de calculs, je m'excuse, cela n'était pas précisé sur mon cours.
    Ces notions sont vues en classe de seconde ( au max )
    et je ne comprend pas ta dernière phrase.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  19. #18
    gg0

    Re : fonction minorée/bornée

    Citation Envoyé par BaptisteBaptiste Voir le message
    Bonjour,
    GG0, quand on dit que f est minoré, cela signifie que la courbe de f ne descendra pas en-dessous de la droite d'équation x=a sur un intervalle considéré.
    Cordialement.
    Oui, c'est l'interprétation géométrique. Dire que f est minorée sur un intervalle I c'est dire qu'il y a un nombre m tel que pour tout nombre x de I, on a f(x)>=m. On dit aussi que m minore f sur I, ou que f est minorée par f sur I.
    Si m minore f sur i, pour tout nombre n<m, n minore f sur I.

    A priori, tout ça est dans ton cours, vu l'exercice que tu as à faire. Pour les inégalités :
    Si a<b et c>0, alors ac<bc
    Si a<b et c<0, alors ac>bc (attention à l'inversion du signe)
    Si a<b et c<d, alors a+c<b+d
    Avec ça, on peut se débrouiller.
    Rappel : a<b signifie b-a>0.

    Cordialement.

  20. #19
    BaptisteBaptiste

    Re : fonction minorée/bornée

    Bonjour,

    J'avais une petite question par apport à cela:

    J'ai la racine carré de "ax+b". Racine de "ax+b">0 ( la racine carré d'un nombre est toujours positive). Maintenant, j'élève au carré ( à gauche et droite de l'inégalité). J'ai donc ax+b>0. Est-ce que cela est juste de dire que je viens de prouver que "ax+b" est supérieur 0 ? ( C'est juste une question qui m'est passée par la tete en "fabriquant des fonctions" pour les borner pour m'entrainer).

    Cordialement.

  21. #20
    jacknicklaus

    Re : fonction minorée/bornée

    Citation Envoyé par BaptisteBaptiste Voir le message
    J'ai la racine carré de "ax+b".
    la fonction Racine a pour domaine de définition [0,+infini[

    donc si l'expression a un sens, alors ax+b >= 0. inutile de tourner autour du pot et d'élever au carré.
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  22. #21
    gg0

    Re : fonction minorée/bornée

    Dit autrement,

    si ax+b<0 (strictement négatif) sa racine carrée n'existe pas, donc ce n'est même pas la peine d'en parler.

    Cordialement.

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