montrer qu'une suite Un est minoree majoree bornee

[invite5092393a]

bonjour je voudrais savoir comment trouver qu'une suite un est minoree ,majoree,ou bornee
(trouver le minorant et majorant)
par exemple (Un)n superieur ou egale a 1
Un=2-1/n
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[inviteea028771]

Déjà, petite précision de vocabulaire, on ne dit pas "le" majorant, mais "un" majorant : si M est majorant, alors tout les nombres plus grand que 1 sont majorants (et il y en a beaucoup ^^).

Sinon ici, il faut remarquer que :
- La suite est strictement croissante (donc minorée par U1=1)
- La suite est strictement plus petite que 2 (car 1/n est toujours positif)

Elle est donc bornée.

[invite5092393a]

est il possible de faire un - 1 = 2 - 1/n - 1 = 1 - 1/n = (n-1) / n piuis de dire que lele numérateur est positif ou nul, le dénominateur est positif, le quotient est donc positif ou nul
donc
un - 1 > 0 donc un >= 1
l a suite (un) est minorée par 1

[invitecef3c426]

Ta suite est Un=2-(1/n), peut etre tu as le droit de dire que la limite en +inf =2 et lorsque n est egal à 1 tu as 1. Mais ce n'est pas tout il faut prouver qu'elle est strictement croissante et pour conclure que 2 est la borne superieure ou donc le plus petit des majorants de ta suite et 1 la borne inférieure de ta suite autrement dit le plus grand des minorants

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecef3c426]

De plus la suite est strictement croissante en faisant un+1 -un car on 2-1/(n+1) -2+1/n soit -1/(n+1) +1/n donc 1/(n(n+1)) qui est strictement positif car n est defini sur N

[inviteaf48d29f]

De plus la suite est strictement croissante

Plus simplement par composition. 1/n est décroissante donc -1/n est croissante donc 2-1/n est croissante.

[invite5092393a]

ya t il une methode generale pour trouver les minorant et majorant
(l'intervalle des minorants et celui des majorants) sans utilise les limites car je les ai pas encore vu

[inviteea028771]

ya t il une methode generale pour trouver les minorant et majorant
(l'intervalle des minorants et celui des majorants) sans utilise les limites car je les ai pas encore vu

Pas de méthode générale, il faut voir au cas par cas.

Ici tu peux "facilement" encadrer Un :

0 < 1/n < 1
<=> 0 > -1/n > -1
<=> 2+0 > 2-1/n > 2-1
<=> 2 > Un > 1

Mais c'est parce que Un a une tête "sympathique"

[invite5092393a]

peut tu me donner les differents cas que l on peut rencontrer

[inviteea028771]

Non, puisque c'est extrêmement variable. Ça va de cas simples à des cas très compliquées (dont les mathématiciens ne connaissent pas la réponse)

Donc tu regarde ta suite, et tu te poses les mêmes questions que pour tout les problèmes de maths : "qu'est ce que je sais dessus? qu'est ce que je veux montrer? est ce que j'ai une idée du chemin pour y arriver?"

[invite5092393a]

merci de ton aide