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Calcul du centre de gravité d'un pentagone irrégulier




  1. #1
    Redister

    Exclamation Calcul du centre de gravité d'un pentagone irrégulier

    Bonjour, je suis en train de faire un DM de mathématiques dont voici le sujet (pour le contexte)

    Le réseau des rues de New-York peut être modélisé par un quadrillage orthonormal. La distance entre deux points de cette ville est alors égale au nombre minimal de côtés de carreaux que l’on doit suivre pour relier les deux points. La situation de cinq centres universitaires est représentée par les points A , B , C , D et E ;on veut installer une bibliothèque telle que la somme des distances aux cinq centres soit la plus petite possible. Où doit-on placer la bibliothèque ?
    Je cherche à déterminer le centre de gravité de la figure pour avoir une idée de l'endroit où pourrait se trouver cette bibliothèque. La figure est un pentagone irrégulier et je n'ai pas les coordonées des points puisque aucun repère n'est tracé. Pourriez-vous m'aider ?
    Merci d'avance pour vos réponses.

    -----


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  3. #2
    ansset

    Re : Calcul du centre de gravité d'un pentagone irrégulier

    Citation Envoyé par Redister Voir le message
    Bonjour, je suis en train de faire un DM de mathématiques dont voici le sujet (pour le contexte)
    .
    l'énoncé se résume à cela ?
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  4. #3
    ansset

    Re : Calcul du centre de gravité d'un pentagone irrégulier

    D'autant que dans un cas général, la position optimale n'est pas forcement celle qui est la plus proche du centre de gravité.
    essaye avec 4 points alignés assez proches et un seul point plus éloigné et " en biais" / aux autres.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !


  5. #4
    Redister

    Re : Calcul du centre de gravité d'un pentagone irrégulier

    Oui, c'est un des exercices du DM, y'a deux autres exercices.

  6. #5
    ansset

    Re : Calcul du centre de gravité d'un pentagone irrégulier

    les centres et la bibliothèque sont bien aux intersections , ou pas forcement ?
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Redister

    Re : Calcul du centre de gravité d'un pentagone irrégulier

    On dispose de ce schéma :
    Pièce jointe 361863

    Je ne comprends pas vraiment comme je suis censé procéder. Ils sont bien aux intersections du quadrillage.
    Dernière modification par Redister ; 07/03/2018 à 14h07.

  9. #7
    ansset

    Re : Calcul du centre de gravité d'un pentagone irrégulier

    Ta pièce jointe n'est pas valide.
    fais une photo que tu ajoutes ensuite en utilisant le bouton qui ressemble à un carré dans le menu au dessus du texte à envoyer.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

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  11. #8
    ansset

    Re : Calcul du centre de gravité d'un pentagone irrégulier

    pour reprendre ma remarque plus haut.
    pour simplifier je prend tous les points aux intersections et je compte 1 pour chaque bloc.
    coords imaginées
    A(0;0), B(0,1),C(0,2),D(0,3),E(3,5)
    la centre de gravité le plus proche ( sur une intersection ) est en G(2,1)
    la somme des distances ( au sens donné dans l'exercice ) de celui ci aux 4 points vaut 13.
    Or, le point situé en (0,2) par exemple est lui à une distance ( somme ) qui vaut 10.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  12. #9
    Redister

    Re : Calcul du centre de gravité d'un pentagone irrégulier

    Pardon, voici l'image :

    IMG_20180307_150321.jpg

  13. #10
    Redister

    Re : Calcul du centre de gravité d'un pentagone irrégulier

    Je l'ai reproduite à l'identique et j'ai tracé les segments qui relient chaque point entre eux. Le petit Omega en haut, c'est parce que c'est un DM sur les probabilités (espérance mathématiques, écart-type etc...) Et je considère les points âge l'intérieur comme mon univers.

  14. #11
    gg0

    Re : Calcul du centre de gravité d'un pentagone irrégulier

    Bonjour Redister.

    En attendant que ta pièce jointe soit lisible ("en attente de validation"), rien ne t'empêche de mathématiser le problème (sans chercher une réponse automatique non pensée, comme ton "centre de gravité") pour voir ce que tu dois faire. Si ta bibliothèque est à la position (x,y), quelle est la somme des distances ?

    Cordialement

    NB : le centre de gravité n'a jamais été une question de distance minimale.

  15. #12
    minushabens

    Re : Calcul du centre de gravité d'un pentagone irrégulier

    Le centre de gravité de n points minimise la somme des carrés des distances à ces points (théorème d'Huyghens) mais pas en général la somme des distances.

  16. #13
    ansset

    Re : Calcul du centre de gravité d'un pentagone irrégulier

    On voit enfin ton croquis.
    tu peux tout à fait exprimer les coords de tes points en prenant par exemple C en (0,0) ; D(8,3) ; etc.
    et ta bibliothèque en (x,y)
    tu peux facilement écrire la somme des distances de ta bibliothèque aux diff points en fonction de x et y
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  17. #14
    ansset

    Re : Calcul du centre de gravité d'un pentagone irrégulier

    D (7,3) pardon.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  18. #15
    Redister

    Re : Calcul du centre de gravité d'un pentagone irrégulier

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    On voit enfin ton croquis.
    tu peux tout à fait exprimer les coords de tes points en prenant par exemple C en (0,0) ; D(8,3) ; etc.
    et ta bibliothèque en (x,y)
    tu peux facilement écrire la somme des distances de ta bibliothèque aux diff points en fonction de x et y
    D'accord je suis bête oui, je vais faire ça. En fait, je pensais calculer les coordonnées du centre de gravité, avec un peu de chances, il sera au milieu d'un carreau et donc il y aura 4 points possibles correspondant à la position de la bibliothèque. J'ai remarqué qu'en comptant le nombre de côtés par lesquelles on passait pour atteindre un point, le chemin le plus rapide, peut importe la façon dont on le prennait, faisait toujours le même nombre de côtés.

  19. #16
    ansset

    Re : Calcul du centre de gravité d'un pentagone irrégulier

    En fait tu voulais certainement parler de barycentre ( qu'il ne faut pas confondre ).
    de mon coté, je n'ai pas vu qu'il s'agissait d'un exercice demandant à être approché sous l'angle des espérances mathématiques, etc....
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  20. #17
    Redister

    Re : Calcul du centre de gravité d'un pentagone irrégulier

    En faisait les calculs, c'est-à-dire la moyenne des abscisses des points et la moyenne des ordonnées, je trouve que le centre de gravité du pentagone est (1.6 ; 4.6) avec C(0 ; 0). Il est donc à peu près au milieu de la figure au centre d'un carreau. Mais comme l'a dit @minushabens, je crois pas que ça va m'aider. Si je continue mon raisonnement, j'ai quatres points qui peut correspondre à ma bibliothèque, et des dizaines de chemins possibles à partir de chaque point. Quelle est la différence entre un barycentre et un centre de gravité ? Parce que c'est la même chose d'après Google. Et un isobarycentre, c'est le centre géométrique de la figure ? Ne serait-ce pas plutôt que je devrais essayer de faire ?
    Dernière modification par Redister ; 07/03/2018 à 16h38.

  21. #18
    Redister

    Re : Calcul du centre de gravité d'un pentagone irrégulier

    Justement, @ansset, notre professeur nous avait dit : "on dirait pas, mais y a des probabilités"... Alors où elles sont cachées ? Bonne question ... Mais je commence seulement à vraiment réfléchir à l'exercice donc...

  22. #19
    Redister

    Re : Calcul du centre de gravité d'un pentagone irrégulier

    En faisant mes calculs de chemins, j'obtiens comme somme du nombre de côtés traversés en fonction des points possibles correspondant à le bibliothèque : 27,28,28,29. Bon j'ai vérifié il n'y a pas d'erreurs de calculs en principe.

  23. #20
    ansset

    Re : Calcul du centre de gravité d'un pentagone irrégulier

    sans trop avoir réfléchi à ton pb globalement , j'ai une solution avec une somme de distance=26
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  24. #21
    ansset

    Re : Calcul du centre de gravité d'un pentagone irrégulier

    En plaçant la biblio en (0,5) soit en ligne directe avec les trois points C,B et A.
    Dernière modification par ansset ; 07/03/2018 à 17h12.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  25. #22
    Redister

    Re : Calcul du centre de gravité d'un pentagone irrégulier

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    sans trop avoir réfléchi à ton pb globalement , j'ai une solution avec une somme de distance=26
    quelqu'un dans la classe avait aussi ce résultat, mais tu comptes à la main les côtés des carreaux par lesquels tu passes ou seulement en utilisant la formule qui permet de calculer la longueur d'un segment dans un repère ?

  26. #23
    Redister

    Re : Calcul du centre de gravité d'un pentagone irrégulier

    Mais je ne comprends pas comment tu as trouvé les coordonnées de ce point ?

  27. #24
    ansset

    Re : Calcul du centre de gravité d'un pentagone irrégulier

    non loin du barycentre et surtout qui propose un maximum d'alignements directs.
    je n'ai pas cherché à modéliser tout cela par calcul ( par fainéantise ) , ce qu'il faudrait certainement faire !
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  28. #25
    ansset

    Re : Calcul du centre de gravité d'un pentagone irrégulier

    je vais regarder tout à l'heure pour une approche purement mathématique.
    sinon, évite de confondre l'isobarycentre et le centre de gravité.
    il ne sont confondus que pour tout triangle, ou dans le cas de figure à N cotés, pour des formes particulières ( avec les symétries nécessaires)
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  29. #26
    ansset

    Re : Calcul du centre de gravité d'un pentagone irrégulier

    ce n'est pas trivial pour un exercice de Lycée ( si on doit le résoudre purement mathématiquement )
    est ce un exercice spécial ?
    une approche un peu heuristique est elle admise dans le contexte.
    voilà ce qu'on peut faire avec un début mathématique.
    En supposant que l'on puisse se déplacer en ligne droite l'optimisation de la somme des distance donne comme résultat :
    M(1,5) ( après un calcul/modèle un peu lourd ) pour le point le plus proche du point théorique.
    celui ci offre une somme des distances ( le long des rues ) de 27
    en cherchant un point proche le point M(0,5) fait gagner une longueur car
    -on en gagne 1 ( à chaque fois ) pour les points A,B et C ( car on optimise le nb d'alignements directs )
    -on en perd 1 pour les point D et E ; résultat 26

    je n'ai pas mieux pour l'instant.
    je suis sur qu'il doit y avoir un truc plus subtil à proposer.
    Dernière modification par ansset ; 08/03/2018 à 09h59.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  30. #27
    Redister

    Re : Calcul du centre de gravité d'un pentagone irrégulier

    C'est un exercice de DM voilà, je pense qu'une approche "heuristique" est autorisé mais il faut néanmoins resté dans le programme de 1èreS. Avec mon père, nous avons tenté de faire quelques essais. Le problème se rapproche du problème classique du plus court chemin. Merci pour vos propositions de pistes de recherches.

  31. #28
    minushabens

    Re : Calcul du centre de gravité d'un pentagone irrégulier

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    sinon, évite de confondre l'isobarycentre et le centre de gravité.
    tiens, quelle est la différence? j'ai toujours pensé que c'était la même chose.

  32. #29
    ansset

    Re : Calcul du centre de gravité d'un pentagone irrégulier

    Au temps pour moi ! désolé.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  33. #30
    jacknicklaus

    Re : Calcul du centre de gravité d'un pentagone irrégulier

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    je suis sur qu'il doit y avoir un truc plus subtil à proposer.
    Le lien avec les probabilités reste encore une énigme, du moins pour moi... y aurait il une grosse astuce ?
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

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