Limite de sqrt(n^2 +n)-sqrt(n^2 -n)

[Supertard]

Bonjour au forum,
Je suis en train de travailler sur les limites de suite et l'une d'entre elle me bloque.
C'est celle de (u_n) tel que n est un entier naturel n et u_n = sqrt(n^2 +n)-sqrt(n^2 -n)
En utilisant un logiciel de calcul formel il semble que la suite ait pour limite 1.
J'ai essaye diverses tactiques :
En montrant que la valeur absolue de (U_n -1) est majorée par une autre suite ayant pour limite 0; mais je ne crois pas que cela fonctionne.
En utilisant la racine conjuguée : j'obtient alors : 2n/(sqrt(n^2 +n)+sqrt(n^2 -n)). Cela ne lève pas l'indermination.
Comment puis-je m'y prendre alors ?

Je vous remercie d'avance et m'excuse de n'avoir pas écris en Latex, langage que je maîtrise pas.
Bonne journée.
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[gg0]

Bonjour.

Comme on s'intéresse à ce qui se passe quand n tend vers l'infini, on peut le considérer comme non nul, positif, et écrire :

Et idem pour l'autre.

Cordialement.

NB : l'idée est simple : ce qui importe le plus dans n²+n, c'est n²; donc la racine carrée se comporte en gros comme n.

[Tryss2]

Le conjugué marche. Il faut juste mettre n en facteur au dénominateur, on obtient alors



A partir de là, on peut simplifier par n, et il n'y a plus d'indétermination

[pm42]

En utilisant un logiciel de calcul formel il semble que la suite ait pour limite 1.

gg0 et Tryss2 ont répondus pour la méthode.
Mais pour la limite qui est amusant c'est la vitesse à laquelle on converge. Pour 2, on est déjà à 1.04, pour 5 à 1.005...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Supertard]

D’accord, merci beaucoup !
Bon week-end !

[gg0]

Effectivement, un développement asymptotique donne


Pour Supertard je traduis : l'erreur lorsqu'on remplace la limite par est très proche de .

Cordialement.