limite en -infini de sqrt(x²+x+1)+(x+1)

[invite23a725ed]

Bonjour à tous,

Alors voila, cela fait bientôt 2h que je bloque sur la limite de cette fonction en -infini: sqrt(x²+x+1)+(x+1).

J'ai tenté de factoriser par x et j'obtiens x[sqrt(1+1/x+1/x²)+1+1/x). Mais lorsque que je calcule la limite de ceci, je trouve -infini.
Or mon logiciel de calcul de limites m'indique que la solution est 1/2. Je suppose donc que cette méthode n'est pas la bonne...

J'ai ensuite tenté d'utiliser la méthode du conjugué mais c'est également un échec.

J'espère que l'un d'entre vous saura m'aider. Merci d'avance pour votre aide

Rob.1
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[Médiat]

Bonjour,

Dans ce genre de cas, penser à la quantité conjuguée est toujours une bonne idée

[invite23a725ed]

Merci pour votre réponse rapide. J'ai réussi à trouver la solution, j'avais simplement fait une erreur de signe dans ma factorisation en x de la racine, je n'avais pas pris en compte que pour x<0, sqrt(x²)=-x.

Cependant j'ai une autre limite qui me bloque... C'est une limite en 1 d'une fraction de deux polynomes du troisième degrès: (-x^3+5x^2-7x+3)/(x^3-x^2-x+1).

J'ai tenté plusieurs méthodes mais j'aboutis toujours à une forme indéterminée...

[Médiat]

Il suffit de mettre (x - 1) en facteur dans chacun des polynômes

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite23a725ed]

Oui j'en étais arrivé à ce stade mais j'obtiens (-x²+4x-3)/(x²-1) et je suis a nouveau bloqué car les limites des deux parties de la fraction valent encore 0...

[Médiat]

Si vous trouvez 0/0 cela signifie que les deux polynômes admettent x=1 pour racine, donc sont divisibles par (x-1)

[invite23a725ed]

Est-il possible de procéder ainsi?:

J'ai factorisé le numérateur et le dénominateur par x^3 j'obtiens donc x^3(-1+5/x-7/x²+3/x^3)/x^3(1-1/x-1/x²+1/x^3). Ainsi j'utilise la propriété des polynome qui dit que la plus grande puissance "l'emporte". Je fais donc la limite de x^3/x^3 et j'obtiens 1.

[Médiat]

Ben non, parce que cette astuce ne fonctionne que pour + et - l'infini, sinon vous viendriez de démontrer que toutes les fractions rationnelles sont constantes.

[invite23a725ed]

Ah oui c'est vrai!

Je ne vois pas comment m'en sortir avec cette fraction de polynomes du second degres...

[Médiat]

C'est pourtant plus simple qu'avec les polynômes du 3ième degré