dérivation fonction logarithmique

[mouchar]

Bonjour, je bute sur une démonstration : passage de la ligne 1 à la suivante :
1)f(ax) = f(a)+f(x)
2)d'où par dérivation : a.f'(ax)=f'(x)

Contexte : il s'agit d'aborder la fonction logarithmique d'une façon axiomatique ; on se donne une fonction telle que pour tout X>0, f(X)=f(ab)=f(a)+f(b),fonction qu'on suppose dérivable de 0 exclu à +l'infini. On établit évidemment facilement que f(1)=0.

On cherche la fonction dérivée de f; on exprime la variable sous la forme d'un produit de termes tous les deux positifs ; on pose que a est fixe, x variable (ligne 1)

pour la ligne 2, premier point d'incompréhension : si je dérive (=si j'exprime la fonction dérivée) f linéaire de la forme ax, j'ai bien f'(ax)= a.f'(x), mais ce n'est pas une fonction linéaire et d'ailleurs la ligne 2 parle de a.f'(ax) (ce qui me semble absurde : comment la fonction dérivée pourrait-elle égaler elle-même coefficientée!). Deuxième point (le deuxième membre) , si je dérive f(a)+f(x), j'ai bien f'(a)+f'(x), mais il n'y a aucune raison d'annuler f'(a) ; d'autant plus que dans la suite de la démo, on cherche f'(1).

Je n'arrive pas à trouver mon erreur de raisonnement. Pouvez-vous m'aider ? Merci.
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[mach3]

premier point d'incompréhension : si je dérive (=si j'exprime la fonction dérivée) f linéaire de la forme ax, j'ai bien f'(ax)= a.f'(x), mais ce n'est pas une fonction linéaire et d'ailleurs la ligne 2 parle de a.f'(ax) (ce qui me semble absurde : comment la fonction dérivée pourrait-elle égaler elle-même coefficientée!).

Il faut revoir la dérivation de fonctions composées (f°g)

Deuxième point (le deuxième membre) , si je dérive f(a)+f(x), j'ai bien f'(a)+f'(x), mais il n'y a aucune raison d'annuler f'(a)

si on dérive une fonction de a par rapport à x, et que a ne dépend pas de x, alors c'est 0. L'inconvénient de la notation avec les ' , c'est qu'on oublie rapidement par rapport à quoi on dérive...

m@ch3

[ansset]

d'autant plus que dans la suite de la démo, on cherche f'(1).

Mach3 t'a répondu sur ta première question.
Je n'interviens que sur cette remarque.
Il y a une infinité de fct de ce type ( logarithmique ), qui ont toute une valeur différente de f'(1)
Il doit donc y avoir des informations complémentaires pour aboutir à un résultat unique.

[mouchar]

merci de ta réponse si rapide
1) j'avais pensé aux fonctions composées, mais je me suis trompé de formule (u'v+uv') et évidemment ça ne marchait pas! Cela dit, je n'avais pas vu que c'est une fonction composée, et ça c'est grave (et j'ai eu toujours du mal avec ça ; j'ai tendance à dire "je pose 2x=X" et hop ça me simplifie la vie (alors que ça me la complique, en particulier avec les fonctions trigos)
2) parfaitement compris

Merci beaucoup, c'était très sympa. Bonne journée!

[A voir en vidéo sur Futura]

[mouchar]

merci de ta réponse, ansset, le problème c'est que je ne comprends pas ta remarque (il faut que je la relise plusieurs fois) mais puisque je te tiens, je te soumets ma deuxième question (que je n'ai pas osé poser en même temps que l'autre) ; dans la suite de la démo (Queysanne-Revuz, Analyse, p.240, 1971, tu connais peut-être) qui est classique, on applique à x=1, et on arrive à f'(a)= f'(1)/a . Bon, pas de pb, mais ensuite il dit "et pour tout x positif on peut aussi écrire f'(x) = f'(1)/x" ; pourquoi "aussi"? Ca marche pour x=1, d'accord, mais qui me dit que ça marche pour tout x positif. J'ai essayé de faire par récurrence, du genre x=1+un réel quelconque, mais échec. Qu'en penses-tu?

[ansset]

tu connais peut-être) qui est classique, on applique à x=1, et on arrive à f'(a)= f'(1)/a .

cela rejoint ce que je disais.
toutes les fct logarithmiques ont cette propriété.
et il n'y a par exemple que pour le logarithme "népérien" que f'(1)=1
toutes les autres satisfont la condition f'(x)=C/x ( et C tj > 0 ) dépend de la "base" du log.
par exemple pour le logarithme décimal ( appélé log ) C vaut 1/ln(10).

Il serait intéressant d'avoir ton cours/exercice en pièce jointe.

[gg0]

Bonjour Mouchar.

"on arrive à f'(a)= f'(1)/a . Bon, pas de pb, mais ensuite il dit "et pour tout x positif on peut aussi écrire f'(x) = f'(1)/x" "
La relation f'(a)= f'(1)/a utilise une lettre (une variable) a qui est par nature n'importe quel réel strictement positif. Donc le nom de la lettre n'a pas d'importance, on peut la remplacer par n : f'(n)= f'(1)/n, ou par x, aussi. Le "aussi" est un effet littéraire, inutile. Si tu préfères, on prend une vamleur x, et comme a est quelconque, on peut prendre a=x.

Cordialement.

[mouchar]

bonjour à tous, j'avais l'intention de me répondre à moi-même (pour être sûr de me comprendre) et je découvre vos réponses ANSSET et GG0 (je vous remercie); j'ai re-réfléchi : "en fait Mouchar tu commences par multiplier x par a, et ensuite tu prends f de ax, et ça te fait deux fonctions, ce que t'avais pas vu" je passe le reste, qui coule de source; j'arrive à la deuxième question (le "aussi");
"tu as f'(a)=f'(1)/a ; a est une constante, tu auras toujours ça ; mais, bêta!, tu vois bien que le résultat ne dépend que de a ; donc ça marchera aussi pour tout x, et tu peux écrire f'(x)=f'(1)/x" ; bon, ça revient à la réponse de gg ; c'était bête comme chou.
Bon, maintenant pour le contexte : je m'amuse à présenter les logarithmes en langage naturel (pour un éventuel enfant -ou ado plutôt- qui un jour voudrait comprendre les logs et pas seulement résoudre des exos) ; ce n'est pas destiné à la publication évidemment mais je le fais sérieusement (par exemple je m'interdis de recourir à des postulats qui viennent comme un cheveu sur la soupe, et je suis effrayé de voir que les manuels de term procèdent ainsi maintenant, qui te parlent de e par exemple, comme ça, au débotté ; je m'interdis aussi les calculettes - ça, c'est plus dur, parce que je m'appelle pas Napier ; bon bref, je relis donc mes bouquins à moi qu'en fait j'ai jamais bien compris, je voulais évidemment aussi à l'époque comme ceux d'aujourd'hui, les jeunes, simplement "avoir bon au problème") Le Queysanne Revuz était la bible en maths sup et j'en ai d'autres qui décortiquent tout point par point, sans se payer de mots ni de "admettons" et qui sont merveilleux; bien sûr ce sont des maths élémentaires, sans prétention, mais ce sont celles que j'aime et que je suis capable d'approcher) ; j'ai précisé le contexte pour ANSSET, car justement j'essaie de faire progressivement, pour le moment sans ln, Log, base ( tu ne pouvais pas deviner, bien sûr, à quel étage de la présentation je me trouve). Bon, mon problème c'est que parfois ça se bloque dans ma tête et je vous remercie de me "débloquer".
Bonne soirée à vous tous

[ansset]

j'ai précisé le contexte pour ANSSET, car justement j'essaie de faire progressivement, pour le moment sans ln, Log, base ( tu ne pouvais pas deviner, bien sûr, à quel étage de la présentation je me trouve). Bon, mon problème c'est que parfois ça se bloque dans ma tête et je vous remercie de me "débloquer".

re-
Il y a un moment ou il faut bien que tu intègres ces notions.
d'abord, il convient de ne pas tenir compte de la fonction "nulle" f(x)=0 , qui satisfait très bien la première condition mais n'est pas logarithmique.
restent donc toutes les autres qui vérifient bien f'(x)=f'(1)/x
Il y donc autant de fct logarithmiques que de f'(1) possibles ( qui est forcement >0, ce que tu peux t'amuser à retrouver )

Par convention on a appelé ln ( comme log naturel ) celui qui correspond à f'(1)=1
et parallèlement, on appelle "base du log" le chiffre b pour lequel f(b)=1

dans le cas du ln , la base est le chiffre e ( pour exponentiel ) , ln(e)=1 car exp(x) est la fonction inverse de la fonction ln(x)
pour le logarithme décimal, la base est 10 , la notation ( par défaut ) est Log ( Log(10)=1 )

soit maintenant une base qcq a , on peut montrer que pour ce log en "base a".

On en déduit par exemple f'(1) pour le Log en base 10 qui vaut 1/ln(10)

[ansset]

correction :

Il y donc autant de fct logarithmiques que de f'(1) possibles ( qui est forcement >0, ce que tu peux t'amuser à retrouver )

faux si la base est inf à 1, désolé.