Incertitude

[Loreilei]

Bonjour,

J'aurai besoin de vos éclaircissements.

Je dispose de 10 valeurs {X_i}, chacune a été obtenue après un nombre {z_i} de mesure. Je cherche à obtenir l'erreur à 2 sigma de la valeur de X.

J'ai donc calculé l'écart type des 10 valeurs de {X_i} mais je ne vois pas quand utiliser l'information du nombre de mesure. En effet si X_1 a été mesurée 10 fois mais X_3 l'a été 500 fois, je m'attends à une erreur moins importante sur X_3.

Bref, je me doute qu'un 1/racine(z_i) doit intervenir mais je ne vois pas vraiment où.

En vous remerciant,
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[leon1789]

Bonjour,
pour ne pas mélanger un peu tout, je crois qu'il est préférable de noter avec des lettres minuscules les nombres (x, x_i, z_i) et avec des majuscules les variables aléatoires sous-jacentes (X_i)

Je dispose de 10 valeurs {X_i}, chacune a été obtenue après un nombre {z_i} de mesure.

Tu veux dire que la valeur x_i est la moyenne de z_i mesures ?

Je cherche à obtenir l'erreur à 2 sigma de la valeur de X.

x, c'est quoi par rapport au contexte ? c'est la valeur vraie (ou exacte) de l'objet mesuré ?

J'ai donc calculé l'écart type des 10 valeurs de {X_i} mais je ne vois pas quand utiliser l'information du nombre de mesure.
En effet si X_1 a été mesurée 10 fois mais X_3 l'a été 500 fois, je m'attends à une erreur moins importante sur X_3.

en effet !

Je suppose que toutes tes mesures sont indépendantes (ce qui est le cas très souvent).

Je suppose aussi que pour obtenir la valeur x_i, on a fait z_i mesures avec un protocole £_i suivant une loi de probabilité de moyenne x et d'écart-type s_i (i.e. variance s²_i)

En raison du théorème central limite (ou de la limite centrale) en supposant z_i assez grand, la valeur x_i est celle d'une variable aléatoire X_i qui suit approximativement la loi normale de moyenne x et de variance s²_i / z_i (i.e. écart-type s_i / racine(z_i) )

Es-tu d'accord avec ça ?

[gg0]

Bonjour.

Si tu prends comme valeur approchée la moyenne m de n mesures, alors l'écart type sur cette moyenne, , est donné par

où S est l'écart type de l'ensemble des n valeurs (ou l'estimateur de l'écart type de la population).

Cordialement.

[leon1789]

Ah, on est dans un forum niveau lycée, donc je simplifie mon rappel : toujours avec mes notations,
la valeur x_i est celle d'une variable aléatoire X_i qui suit une loi de probabilité de moyenne x et de variance s²_i / z_i, ie. d'écart-type t _i = s_i / racine(z_i)

Si Loreilei comprend cela, c'est déjà un premier pas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[leon1789]

si Loreilei ne connait pas le théorème centrale limite (car en lycée) , c'est pas grave : il suffit de savoir que la somme de variables aléatoires indépendantes, d'espérance x et de variance est une variable aléatoire d'espérance et de variance .

Après on passe en moyenne sur ces valeurs : est la valeur d'une variable aléatoire d'espérance et de variance .

[gg0]

Loreilei,

tu peux chercher sur Internet les sujets "intervalle de fluctuation", "intervalle de confiance". Dans ton cas, il ne s'agit probablement pas d'incertitude au sens stricte, mais d'intervalles de confiance.

[leon1789]

Dernier point important (en ce qui me concerne, pour l'instant, tant Loreilei ne répond pas) :
- on suppose que est la valeur d'une variable aléatoire d'espérance et de variance , pour i allant de 1 à n=10.
- on suppose les variables aléatoires indépendantes.

On cherche une moyenne pondérée des , disons
,
afin d'estimer "au mieux" , ie. en minimisant la variance (ou l'écart-type, cela revient au même) de la variable aléatoire
.

La variance de est
.

La valeur minimale de est atteinte lorsque
.

C'est avec ces valeurs des que l'on obtient la "meilleure" estimation de à partir des .