Intégrale

[Soflo]

Bonjour à tous, voici le problème que je dois résoudre aujourd'hui.

L'aire délimitée par la parabole y=x^2, l'axe des x et la droite x=6 doit être divisée en deux surfaces d'aires égales par une parallèle à l'axe des x. Déterminer l'équation de cette parallèle.

J'ai déjà pas mal cogité sur ce problème, j'ai commencé par me dire que l'aire entre la courbe x^2 et x=6 je devais l'intégrer entre 0 et sqrt(6) et que cette aire est = à 2x l'intégrale située en dessous de la parallèle que l'on doit trouver… Et que les aires au dessous et au dessus de la parallèle à x=0 sont égales.

malheureusement je ne suis pas sûr que ma borne supérieure soit correcte… et j'ai dû mal à voir comment continuer ce problème.


Encore merci à ceux qui me répondront =)
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[danyvio]

L'aire délimitée par la parabole y=x^2, l'axe des x et la droite x=6 doit être divisée en deux surfaces d'aires égales par une parallèle à l'axe des x. Déterminer l'équation de cette parallèle.

Peux tu donner l'énoncé original ?

[Soflo]

Il s'agit bien de l'énoncé de base.

[Resartus]

Bonjour,
1ere erreur de calcul : si on est sur la droite x=6, la valeur de y a cet endroit est 6^2, pas sqrt(6)
2eme erreur : Pour trouver l'aire sous la courbe il faut non pas la dérivée (2x) mais une primitive de la fonction y=x^2. Vous devriez savoir la calculer...

Pour résoudre le problème, un première étape peut être en effet de calculer l'aire totale sous la courbe entre 0 et 6 (utilisation de la fonction primitive, donc)

Plus généralement, si x0 est l'abscisse d'un point, quelle est l'aire sous la parabole entre 0 et x0?

Une fois ceci fait, un petit dessin peut aider à visualiser l'équation nécessaire à la résolution : si on coupe par une droite horizontale d'équation y=y0, il y a l'aire sous la courbe entre 0 et x0+ un petit rectangle entre x0 et 6. Exprimez ces deux termes en fonction de YO : trouver d'abord le x0 correspondant, puis les deux aires, et cela doit donner la moitié de l'aire totale. Cela donnera une équation en y0, à résoudre

[A voir en vidéo sur Futura]

[Soflo]

concernant la première erreur que vous mentionnez, je voulais préciser que la valeur de y est égale à racine carrée de 6 quand la courbe x=6 et y=x^2 se croisent.

[ansset]

j'ai peut être lu trop vite, mais déjà une primitive de x^2 est (1/3)x^3
de ce que j'ai pu comprendre, on cherche ici "a" tel que

l'équation devient donc

[Soflo]

Bonjour ansset, merci pour votre réponse, cela dit votre solution ne fonctionne pas, je suis censée trouver une parallèle à l'axe des x qui coupe l'aire entre la courbe x=6 et la courbe y=x^2 en deux parties égales.

[Resartus]

Bonjour,
Ben non, c'est faux…. Il faut lire plus soigneusement l'énoncé Ce n'est pas la fonction y=6 mais la droite verticale d'équation x=6

concernant la première erreur que vous mentionnez, je voulais préciser que la valeur de y est égale à racine carrée de 6 quand la courbe x=6 et y=x^2 se croisent.

[ansset]

supprimé..... inutile

[Soflo]

J'ai vu mon erreur après coup… donc du coup pour l'aire qui se trouve en dessous de la parallèle que je cherche si je suis ce que vous m'avez écrit: je note l'intégrale de 0 jusqu'à x0 de x^2 + l'intégrale de x0 jusqu'à 6 de y0=36 (L'aire totale trouvée valait 72).

Seulement voilà, je n'obtiens pas ce que je veux. pouvez-vous m'aiguillez ?

[ansset]

je ne sais que te répondre, si tu dois couper par une // à l'axe des x , alors ce que j'ai proposé n'est pas bon.
il faut "découper" l'intégrale autrement. ( en deux parties horizontales )
mais 'au pif" , je crains que tu ne tombes sur une équation du 3ème degré ( juste une intuition )

[Resartus]

Bonjour,
Il vaut mieux commencer à écrire l'aire comme une fonction de x0, résoudre, et seulement après trouver le y0=x0^2.... (pour éviter d'avoir à traîner des expressions avec des racines de y0)

Donc aire sous la parabole entre x=0 et x=x0?
Rectangle entre x0 et 6 : largeur 6-x0 hauteur y0=x0^2 donc aire=?
La somme des deux doit donc valoir 36
NB : Cela donne une équation du troisième degré en x0 qu'on ne sait pas résoudre en général à votre niveau, mais ici on peut trouver une racine évidente (essayer les entiers entre 1 et 5 )

[Soflo]

je vous remercie, j'ai enfin trouvé…
bizarre qu'à la fin nous devons juste "essayer" les entiers entre 1 et 5 et qu'il n'y ait pas de factorisation possible…

[ansset]

bah ! les profs sont parfois "bizarres" aussi
car je ne vois pas d'astuce spéciale dans ce cas, ( à part peut être une, mais qui n'est pas trop niveau Lycée )....

[ansset]

je vous remercie, j'ai enfin trouvé…
bizarre qu'à la fin nous devons juste "essayer" les entiers entre 1 et 5 et qu'il n'y ait pas de factorisation possible…

On peut néanmoins proposer une forme de factorisation.
L'équation simplifiée revient à
soit
aa(1-a/9)=6
SI on cherche une solution entière inf à 6, alors soit
a et a(1-a/9) divise 6 soit
a^2 et (1-a/9) divise 6
la deuxième possibilité n'a pas de solution, donc a divise 6 ainsi que a(1-a/9)
la seule solution est a=3,
sans essayer tous les cas entre 1 et 5.

[XxDestroyxX]

Bonjour, ayant fais l'exercice à l'instant, j'ai trouvé la bonne valeur. Voici ce que j'ai fais :
On cherche k tel que la droite d'équation coupe l'aire entre et l'axe en deux parties d'aires égales.
La courbe de coupe la courbe de au point d'abscisse
L'aire de la partie 1 qu'on notera sera alors égale à



est le rectangle de cotés et

De même, la deuxième partie aura une aire égale à



On veut
Avec quelques petits calculs d'intégrales, cela équivaut à l'équation



Autrement dit après simplifications,



Soit

Par ailleurs, on a nécessairement un carré parfait (car 54 est un nombre entier) strictement inférieur à 36.
Il ne reste alors plus que 4 solutions possibles : 4, 9, 16 ou 25, il n'y a plus qu'à les essayer de manière maligne !

[Tryss2]

Par ailleurs, on a nécessairement un carré parfait (car 54 est un nombre entier)

Et si c'était 55 au lieu de 54?

[XxDestroyxX]

Et si c'était 55 au lieu de 54?

Je me serai trompé quelque pars

[jacknicklaus]

Je me serai trompé quelque pars

ce n'est pas ce que voulais dire Tryss2, je présume.

En effet, cette phrase est fausse dans le cas général : "on a nécessairement un carré parfait car 54 est un nombre entier" .

Ainsi avec 55 au lieu de 54, bien que 55 soit aussi un entier, l'équation
k(9-racine(k)) = 55 n'admet que deux solutions positives k = 66.8 et k = 9.22, qui ne sont pas des entiers

[XxDestroyxX]

Bon, dans ce cas là oui, mais cette phrase était juste dans le cas précis de l'exercice

[ansset]

Bon, dans ce cas là oui, mais cette phrase était juste dans le cas précis de l'exercice

oui, mais implicitement tu dis rechercher une solution entière, ce qui est exactement ce que j'ai précisé dans l'approche de mon post #15 ( qui me semble plus court )