Intégration difficile

[Mani8]

H dépend de delta, mais pour une journée donnée ces deux variables sont constantes donc ça ne pose pas de problème à moins d'intégrer sur plusieurs jours (auquel je serai toujours à temps de simuler mes journées indépendamment les unes des autres puis faire une somme).

Pour ce qui est de Wolfram, il y a un léger détail que je ne vous avais pas donné. Je compte simuler une centaine d'angles d'inclinaisons pour les panneaux et autant de valeurs d'espacement entre eux, soit près de 10000 cas à prendre en compte...
Du coup à moins de pouvoir faire boucler Wolfram, mieux vaut sacrifier la précision, quitte à l'utiliser pour des valeurs spécifiques une fois la tendance dégagée.
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[ansset]

pourquoi ne pas démarrer avec beaucoup moins de valeurs, histoire de voir si les courbes sont assez régulières ?

[Mani8]

Je pourrais, mais l'intérêt est faible. Si mon code fonctionne, il pourra traiter une poignée de cas comme 10000. La seule limite étant que plus je réduirait le pas, plus l'estimation de chaque intégrale sera longue et donc plus je devrais sacrifier de précision pour faire mon calcul.
En fait, je peux aussi bien commencer petit et monter en nombre de cas considérés en comparant quelques valeurs "tests" à ce que donne Wolfram jusqu'à atteindre une limite d’imprécision que je me serai fixé comme faire le chemin inverse et réduire le nombre de cas traités en augmentant la précision jusqu'à atteindre un niveau satisfaisant de proximité par rapport à Wolfram.

[ansset]

je comprend ton intérêt d'avoir un code que tu peux paramétrer à loisir.
( je ne vois d'ailleurs pas pourquoi il ne fonctionnerait pas )
bon courage et tiens nous au courant.
Cdt

[ansset]

ps, tu es sur de ta formule ?, parce que j'ai fait quelques simulations ( non pas sur l'intégrale mais sur la forme de la courbe ), et les résultats me semble "étranges",

[Mani8]

C'est peut être parce que la formule que vous avez est incomplète
Je vais vous expliquer plus en détail les problème et ma méthode de résolution.

Diag-1-ConvertImage.jpg

J'ai un certain nombre de panneaux faisant face au Sud, reposant sur un sol considéré comme plat. Je souhaite évaluer l'ombrage moyen que projette un panneau sur le suivant pour différentes valeurs d'inclinaison et d'espacement des panneaux. Je connais la largeur des panneaux mais je considèrerait leur longueur comme suffisamment grande pour pouvoir négliger les effets de bord (ce n'est pas du tout le cas en réalité mais ça simplifie grandement le modèle).

detail-ConvertImage(1).jpg

Sur cette figure, la droite rouge représente le rayon de Soleil produisant l'ombre la plus haute à un instant donné. Le plan contenant A,B,E,F,G et H (que j’appellerai P1) est perpendiculaire au sol et contient l'axe Nord-Sud.
E,F et H sont alignés et la droite sur laquelle ils se trouvent appartient au plan incliné du second panneau.
G,A et E sont alignés sur une droite perpendiculaire au sol et sécante avec le rayon rouge en A. B,A et H sont alignés sur un axe parallèle au sol et au vecteur Nord-Sud. H est en fait la projection du point A sur le plan du second panneau suivant l'axe Nord-Sud.
C et D se trouvent sur l'axe normal au sol avec D le point de section du rayon de Soleil avec le bord supérieur du premier panneau. B est analogue à C sur le plan P1.

A,C,D,E et G appartiennent à un même plan (P2).
P1 et P2 forment un angle sur le plan du sol appelé azimut et noté z. L'angle CÂD est nommé angle d'altitude et noté alpha. L'un et l'autre peuvent être déterminé par des relations expérimentales connues pour peu qu'on connaisse la date, l'heure et la latitude.

Je pars du principe qu'à un moment donné, le pourcentage d'ombrage peut être approché par le rapport EH/EF (c'est à dire que je considère mes panneaux comme infiniment longs). De là, en utilisant Thalès dans le triangle EFG, je peux dire EH/EF = EA/EG
Maintenant, dans le triangle ABC rectangle en B, je connais BÂC = z et je peux écrire: AC=AB/cos(z) (NB: AB est l'espacement entre les panneaux que je cherche à faire varier, c'est donc une distance connue à chaque itération).
Même principe dans le triangle ACD et j'obtiens CD=AC*tan(alpha) ou CD=AB*tan(alpha)/cos(z)

A partir de là, j'ai tout ce qu'il me faut, la distance GE est facilement déductible le la largeur du panneau (connue) et de son inclinaison (dont je veux étudier l'effet). Du coup mon ratio devient (GE-CD)/GE

Je cherche également à avoir une idée globale du pourcentage d'ombre reçu par le panneau 2 au cours d'une journée. D'où la nécessité de calculer l'intégrale pour ensuite diviser par la durée considérée et obtenir une moyenne.
Histoire que vous compreniez de quoi je parle, je vous donne les relations expérimentales pour les angles solaires:
ST est l'heure solaire (qui diffère plus ou moins de l'heure locale selon votre éloignement du méridien de référence...)

h = (ST-12)*15° est l'angle horaire. C'est finalement simplement une conversion du temps en angle de rotation, à raison de 15°/heure avec 0° correspondant à 12h

Delta = 23.45°*sin(360/365 *(284+N)) où N est le jour de l'année (1 à 365) est l'angle de déclinaison qui rend compte de l'angle formé par le plan de l’équateur avec le plan de la trajectoire de la Terre autour du Soleil. Il vaut -23.45° au solstice d'hiver, +23.45° au solstice d'été et 0° aux deux équinoxes.

alpha = arcsin( sin(Lat)*sin(Delta) + cos(Lat)*cos(Delta)*cos(h) ) est l'angle d'altitude dont j'ai parlé plus haut (Lat étant la latitude).

z = cos(Delta)*sin(h)/cos(alpha) est l'azimut dont j'ai également parlé plus haut

Comme la trajectoire du Soleil est symétrique par rapport à midi, j'intègre de 0 à H où H est le minimum entre la valeur le h au coucher du Soleil et celle qui correspond à un angle d'incidence (angle du rayon solaire par rapport à la normale de la surface) supérieur à 90. Cette deuxième condition est là pour éliminer les cas où le Soleil passe derrière le plan incliné, ce qui peux arriver en hiver, le Soleil se levant/couchant légèrement au Nord. Je vous épargne la formule de l'angle d'incidence parce qu'elle est velue, mais quoi qu'il en soit H n'est au final qu'une fonction de la latitude, de l'inclinaison du plan et du jour de l'année.

Mon intégrale devient donc:

Et c'est là que j'ai fait une bourde, j'ai oublié que AC était aussi une fonction de h (j'ai confondu avec AB qui est fixe ) et je l'ai mis en facteur de la seconde intégrale à tort. Donc ce que j'ai posté au final c'est juste l'intégrale de tan(alpha) puisque le reste paraissait assez trivial.
Si je réécris tan(alpha)*AC en utilisant les relations donnée plus haut et tan=sin/cos j’obtiendrai plutôt:

[ansset]

C'est peut être parce que la formule que vous avez est incomplète

depuis le début il était clair que cela concernait l'optimisation de positionnement de panneaux solaires.
et elle est effectivement incomplète au moins sur un point.
n'y figure pas l'intensité du rayonnement en fonction des périodes de l'année…..( l'angle ne suffit pas pour une modélisation juste )
ceci indépendamment du développement de ta formule que je t'avoue n'a pas avoir lu en détail.

[Mani8]

Tout à fait, mais je n'ai pas de donnée horaire pour ça, je n'ai accès qu'à des moyennes mensuelles. Par conséquent, je peux aussi bien calculer le pourcentage pour un mois en particulier et multiplier ça par l'irradiation moyenne qui y correspond.

[ansset]

pourquoi pas, sans donnée très précises, un Coeff multiplicateur global selon le jour ou mois de l'année ( indépendamment de l'heure ) ne peut que renforcer utilement ton modèle.
forcement approximatif, vu d'ailleurs les dérèglements actuellement visibles .

[ansset]

Globalement, c'est peut être plutôt un pb d'optimisation "techno", qu'un pb qui se résumerait à un calcul d'intégrale.
Il y a certainement des intervenants qui connaissent bien les problématiques liées aux panneaux solaires ( dans un forum ad-hoc ) et il est peut être préférable d'avoir leur avis global sur cette spécialité.
juste une suggestion !
cordialement.

[Mani8]

Oui, clairement si j'ai posté ici c'était uniquement parce que je me demandais s'il ne serait pas possible de trouver une primitive à cette fonction qui m'aurait donné des résultats plus précis en plus de faire économiser pas mal de temps de calcul à mon programme mais le problème en lui même a peu à voir avec les mathématiques proprement dites en dehors de cet aspect. Cela étant, je vous remercie tout de même pour tous vos précieux conseils et retours.

Mes résultats seront forcément très approximatifs mais au final je n'attend pas des valeurs précises (il existe bien entendu des outils très performants conçus par des gens bien plus compétents que moi qui font très bien ce travail). Dans l'idée, c'est plus un outil pour visualiser à l'aide de graphes les effets de certains paramètres pour pouvoir réduire mon champ de prospection et gagner un peu de temps en début de projets.