Intégration difficile

[Mani8]

Bonjour,
Je cherche depuis hier à calculer l'intégrale suivante sans grand succès (ignorez les flèches, je ne sais pas comment m'en débarrasser mais elles ne font pas partie du problème):



Notez que H est une valeur connue et positive de la variable h et que Lat et delta sont des constantes connues.
Bien sûr je pourrais approcher cette intégrale en utilisant la méthode des trapèze (c'est d'ailleurs ce que j'ai fini par faire via Matlab) mais par curiosité j'aimerai savoir s'il existe une manière de trouver la primitive de cette fonction.
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[ansset]

Si je comprend , ton intégrale se simplifie en

a et b étant compris entre -1 et 1.
à laquelle on peut rajouter une relation entre a et b.
est ce cela ?

[Mani8]

Oui, tout à fait.

[ansset]

la relation additive étant b-a=cos(Lat+delta) donc aussi compris entre -1 et 1

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

pour info

voilà de quoi démarrer.

[Mani8]

Oh je ne connaissais pas cette relation, il faut vraiment que je me remette à m'entraîner en Maths.
Du coup on reconnaît la dérivée de arcisnh(x) et en substituant a+b*cos(h) je pense avoir pour primitive:


Est-ce correct ?

[ansset]

ce n'est pas la dérivée de arsinh !
la primitive de la fonction est bien plus simple.
mais il faut faire très attention au chgt de variable ( à faire au préalable )

[Mani8]

Effectivement, je suis allé beaucoup trop vite en besogne comme d'habitude.
Du coup ce n'est pas la dérivée d'arcsinh mais celle d'arcsin que j'avais repéré bien que ça n'ait aucune utilité puisque je ne peux pas juste diviser par la dérivée si elle n'est pas constante...
J'ai tenté une autre approche en substituant dont la dérivée est si je ne m'abuse.
En remplaçant dans l'intégrale les a+b*cos(h) se simplifient et j'obtiens:
(Désolé pour la forme de l'intégrale, je ne suis pas encore bien rodé sur LaTex)
Mais là je suis bloqué, je n'arrive pas à me débarrasser de ce sin(h) au dénominateur. J'ai essayé d'exprimer sin(h) en fonction de u mais je n'ai rien trouvé de bien probant...

[gg0]

Rappel : dans un changement de variable u=fonction de h, à la fin il n'y a plus de h, seulement des u.

[Mani8]

Je me trompe peut être mais la façon dont j'ai procédé est: choisir u, trouver du/dh puis substituer u dans l'intégrale et remplacer dh par du (ce qui implique de diviser par du/dh qui contient une fonction de h). Maintenant il est tout à fait possible et même probable que mon choix de u soit mauvais précisément pour cette raison...

[gg0]

Ta première intégrale s'exprimait en fonction de h, si tu fais un changement de variable, tu dois remplacer h dans toutes ses occurrences et exprimer dh en fonction uniquement de u. Quel serait le statut de h dans ta dernière intégrale :
(j'ai remis le \ devant int) ? h est une constante par rapport à u, une fonction de u , ... ?

Cordialement.

[Mani8]

Dans le contexte, je dirais que u et sin(h) sont deux fonctions de h apparaissant dans la même expression, ce qui ne m'avance pas à moins de pouvoir exprimer sin(h) en fonction de u et de substituer ça dans l'intégrale pour n'avoir plus que des u.
L'intégrale que j'ai écrit "après" substitution est plus une forme incomplète de substitution bancale qu'autre chose. Mais dans la mesure où je sèche de toute façon je renseigne simplement sur les voies que j'ai exploré et comment je m'y suis retrouvé bloqué.

[gg0]

Oui, à quoi bon, puisque tu n'en fais rien ?

Bon, si tu essayais d'utiliser la proposition de Ansset, au message #5 ?

[Mani8]

Bon, nouvel essai.
Cette fois encore, j'écris:
Je tente maintenant d'intégrer par partie, si dv=a+b*cos(h) alors v=ah+b*sin(h)
Du coup u doit être: de sorte que
Ce qui ne m'avance pas d'avantage...

[gg0]

Ok.

Pourquoi veux-tu intégrer par parties ? On peut penser à un changement de variable u=cos(h), ou même u=a+b.cos(h), mais il va falloir "inverser", c'est à dire être capable de retrouver h connaissant u. Avec u=cos(h), ça va bien si h est entre 0 et pi, c'est plus compliqué ailleurs. Ce qui amène à ces réflexions :
Déjà, a et b ne sont pas quelconques, mais surtout cette intégrale doit être définie. Il faut que quel que soit h entre 0 et H, on ait -1<=a+b.cos(h)<=1. Si cette condition est vérifiée quel que soit h (je ne sais pas grand chose de a et b !) comme on a une fonction périodique de h, si H est supérieur à 2pi, on calculera l'intégrale sur une période, qu'on multipliera par le nombre k de périodes entre 0 et H, puis on rajoutera un calcul de l'intégrale entre k.2pi et H, qui de ramène à une intégrale de 0 à H-k.2pi. le calcul sur une période se fait en intégrant entre 0 et pi (facile), puis en ramenant l'intégrale entre pi et 2pi à la précédente.

Donc première chose : connaissant tes paramètres Lat et delta, que sais-tu des valeurs de a+b.cos(h) ?

[Mani8]

Merci beaucoup pour votre patience.
H est définit par rapport à Lat et delta de telle sorte à ce que -1<=a+b.cos(h)<=1 soit toujours vérifiée entre 0 et H. C'est une valeur qui varie au sein d'un problème plus large mais pour une itération on peut la considérer comme fixe et sa valeur est toujours comprise entre 0 et pi/2. Donc a priori je n'aurai pas besoin d'intégrer sur une période puis multiplier par le nombre de périodes entre 0 et H puisqu'il y en aura moins d'une.
Il me suffit de trouver la primitive et de l'évaluer en H et 0 avant de faire la différence. Or c'est là que je coince, quand je tente les deux substitutions que vous m'avez suggéré, je finis toujours avec du "h" qui traîne dans mon intégrale selon u... Je sais bien que c'est moi qui suis aveugle et ça m’énerve d'autant plus de savoir que la solution est sûrement sous mon nez sans que je la voie.

[gg0]

Ok.

Donc le changement de variable u=cos(h) ne pose pas de problème, et on pourra calculer h=arccos(u). Par contre, on tombe sur une intégrale pas évidente du tout : Mon calculateur formel n'en fait rien. Pour a=b=1/2, il trouve une primitive très "lourde", pour d'autres valeurs rien.
C'est le problème avec les primitives, on ne sait calculer que certaines catégories simples et certains cas particuliers autres.

Cordialement.

[Mani8]

Donc on part sur une primitive insolvable, tant pis. Ce qui m'étonne, c'est qu'ansset laissait entendre en réponse #7 que la primitive de ma fonction était "simple", mais après avoir buté dessus toute la journée, je dois dire que je suis à court d'idées...

[Mani8]

Le mieux que j'ai pu faire c'est, en substituant u=cos(h):

Puis, via cos^2(x)+sin^2(x)=1 je peux écrire
Et donc on a :
Si je développe le dénominateur:
Avec un polynôme de u sous la racine. De là je ne sais plus trop comment procéder...

[gg0]

Tu peux te passer du car sur l'intervalle de variation de h, sin(h) est positif.
C'est ce que je trouve aussi, le développement (inutile) en moins.

Cordialement.

[ansset]

que sont Lat et delta.
et je suppose que cette intégrale n'est pas posée telle quelle , tu dois avoir fait un calcul préalable, non ?

[Mani8]

Je précise que ceci ne fait pas partie d'un exercice mais plutôt d'une démarche de recherche personnelle. Donc je n'ai aucune garantie que cette intégrale soit solvable (dans la mesure où elle n'a pas été expressément imaginée pour être résolue par un Lycéen).

Lat est une latitude, qui ici est fixe et vaut +52,2° (Nord)
delta est l'angle de déclinaison du Soleil tel que delta=23,45*sin(360/365 * (284+N)) où N est le jour de l'année (de 1 à 365). Delta oscille donc entre -23,45° et +23.45° au long d'une année.
h est l'angle horaire du Soleil tel que h=(ST-12)*15° où ST est l'heure solaire

[gg0]

Et ton intégrale représente quoi ?

[Mani8]

Le processus par lequel j'ai obtenu cette intégrale est assez long donc je ne vais pas le développer ici, mais c'est une variable qui intervient dans le calcul du taux moyen d'ombrage projeté par une surface rectangulaire inclinée sur une seconde surface de dimensions équivalentes, parallèle à la première et située derrière celle-ci au cours d'une demi-journée, dont j'ai besoin pour d'autres tâches.

Cela dit, vous faites bien de me forcer à vérifier tout ça car je m’aperçois qu'en simplifiant l'intégrale j'ai traité comme constante un variable de h qui complexifie encore bien d'avantage l'intégration...
En fin de compte je pense que je vais m'en tenir à une approximation via la technique des trapèzes.

Je vous remercie beaucoup tous les deux pour votre aide précieuse, à défaut d'avoir trouvé une primitive la piqûre de rappel sur l'intégration ne m'aura pas fait de mal !

[ansset]

donc Lat est connue, reste delta (qui est encadrée ) et H ( qui est ? )
tu peux aussi prendre comme solution de faire tourner wolframalpha sur l'intégrale simplifiée pour un ensemble de valeurs choisies delta et Het et construire un beau tableau sous excel.
c'est "bourrin" mais tu n'aurra aucun calcul à faire toi-même.
si tu veux un exemple, donne moi deux valeurs de delta et H et je te donne le résultat avec le lien que tu pourra réutiliser pour d'autres valeurs.

[Mani8]

En fait, H est l'angle horaire au coucher du soleil, sa valeur varie selon le jour de l'année mais est encadrée par 0 et PI.

J'ai pensé à utiliser Wolfram mais vu le nombre d'itérations à faire tourner le plus simple reste pour moi de calculer la valeur de la fonction elle même pour les valeurs de h comprises entre 0 et H. Je pars du principe que la dérivée de la fonction est constante entre deux relevés et je calcule dans chaque intervalle l'aire du rectangle formé par la plus petite valeur et le pas puis j'ajoute à ça l'aire du triangle rectangle dont un côté est le pas et l'autre la différence entre mes valeurs.
De là je (où plutôt l'ordinateur) fais la somme des aires obtenues pour chaque intervalle élémentaire dans l'intervalle d'intégration. C'est très bourrin aussi, sûrement très approximatif également, mais je suis plus intéressé par la tendance générale que par le résultat en lui même donc pour l'usage que j'en ferai ça devrait suffire.

[ansset]

…... mais je suis plus intéressé par la tendance générale que par le résultat en lui même donc pour l'usage que j'en ferai ça devrait suffire.

OK, je pensais que tu souhaitais des valeurs précises en fct des circonstances, d'où ma suggestion.
ceci dit tu peux éventuellement comparer les deux approches.
ce qui permettrait de valider ton modèle en faisant faire qcq intégrations spécifiques et ciblées par wolfram, pour voir…
cordialement.

[Mani8]

Eh bien disons que si j'avais pu obtenir des résultats précis ça aurait été encore mieux, mais à défaut une approximation avec un pas suffisamment petit fera l'affaire.
Je prends le conseil cela dit, ça me permettra justement d'ajuster l'intervalle entre mes relevés pour maximiser la précision de mon programme.

Encore merci pour votre aide !

[ansset]

Eh bien disons que si j'avais pu obtenir des résultats précis ça aurait été encore mieux,

je ne saisi pas: pour des delta et H donnés, wolfram te donnera à chaque fois un résultat précis.

[ansset]

Par ailleurs ton H semble dépendre de delta , non ? un point que je n'ai pas saisi , désolé.