Questions sur la fonction exponentielle et géométrie dans l'espace

[lezebulon]

Hello
voila je suis en révision pour le bac S et je me pose une question sur la fonction exponentielle, enfin plus exactement sur une démo du cours :
on a une démo qui est de prouver l'unicité de l'équa diff
y'=y et y(0)=1 qui donne bien sûr la fonction exp, pour ça on admet à chaque fois que exp est non nul sur R, mais c'ets jamais justifié , est-ce que quelqu'un peut m'expliquer brièvement pourquoi ? Avec la proprieté fondamental de exp on peut prouver facillement que la fonction est jamais négative strictement mais déjà la propriété fondamentale vient bien après la résolution de l'equa dif, donc c'esr pas une méthode terrible...


sinon autre question : est-ce que la formule de distance d'un point à un plan est au programme ? Et sa démonstration (je parle de pouvoir ressortir par coeur la démo sans aide) ?

voilà merci
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[Gwyddon]

Comment est définie l'exponentielle en TS ?

Car la démonstration va dépendre de cette définition..

Si on la prend comme réciproque de la fonction ln, alors la réponse est évidente : ayant ln définie uniquement sur l'exponentielle ne pourra jamais être négative ou nulle.

[lezebulon]

C'est defini justement comme étant la solution de l'équa diff
y'=y et y(0)=1

[Gwyddon]

Comment prouves-tu que cette équation a au moins une solution ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

on a une démo qui est de prouver l'unicité de l'équa diff
y'=y et y(0)=1 qui donne bien sûr la fonction exp, pour ça on admet à chaque fois que exp est non nul sur R, mais c'ets jamais justifié , est-ce que quelqu'un peut m'expliquer brièvement pourquoi ?

Voici une explication (non rigoureuse mais qui peut l'être mais alors ce n'est plus bref)
Pour l'équation y'=y, il y a une solution particulière : y=0.
Une solution de y'=y qui s'annulerait en x0 a une courbe qui passe par (x0,0). y'=y impose à cette courbe d'aller horizontalement (y'=0) jusqu'à un autre point qui est donc également d'ordonnée nulle. La pente en ce second point est donc aussi nulle, la courbe va donc horizontalement jusqu'à un troisième point, etc... on peut faire la même chose de l'autre côté du premier point. La courbe se confond donc avec (Ox) et y=0.

Formule de distance d'un point à une droite au programme, en démo imposée : aucune idée, désolé.

[invite748350d6]

Formule de la distance d'un point à un plan (et à une droite) : oui c'est dans le programme, y compris sa démonstration => C'est sorti à Pondichéry, et en ROC en plus

[Romain-des-Bois]

Formule de la distance d'un point à un plan (et à une droite) : oui c'est dans le programme, y compris sa démonstration => C'est sorti à Pondichéry, et en ROC en plus

Bah alors ça sortira pas au bac métropolitain


Pour en revenir au sujet initial :
historiquement, comment sont réellement nées les fonctions exponentielles et logarithme népérien ?
est-ce : ln primitive de 1/x et exp bij réciproque de ln
ou bien : exp telle que y'=y et ln primitive de 1/x
ou autre chose ?

merci

Romain

[invite35452583]

Bah alors ça sortira pas au bac métropolitain


Pour en revenir au sujet initial :
historiquement, comment sont réellement nées les fonctions exponentielles et logarithme népérien ?
est-ce : ln primitive de 1/x et exp bij réciproque de ln
ou bien : exp telle que y'=y et ln primitive de 1/x
ou autre chose ?

merci

Romain

C'est John Neper (ou Napier) qui en 1614 (environ) créa les logarithmes de son nom, avant la création de primitive je pense, et de l'exponentielle. On peut les fonder sur la fonctionnelle ln(a.b)=ln(a+b) : le but était de simplifier les calculs numériques.

[lezebulon]

Oui à la base c'est pour simplifier les calculs je crois :
en fait avec une table qui donne ln(x) en fonction de x on peut calculer a*b en prenant l'antécédent par ce tableau du résultat ln(a) + ln(b)

Sinon aucune chance que la ROC retombe sur la formule d'un point à un plan ? En même temps c'est assez facile comme démo vu comment le sujet guide pas mal, je pensais plutôt que ça aurait été un sujet type : démontrer que "..." sans indications

[Gwyddon]

Sinon pour l'exponentielle la vraie définition actuelle qui sert à faire tout plein de chose c'est à partir des séries :