congruences

[kaderben]

Bonjour

a entier tel que:

a=2019[2017] ET a=2019[1009]
Déterminer les valeurs de a

Pour simplifier un peu:
a=2[2017] ET a=1[1009]

Je calcule le ppcm(2017;1009)=2035153 et si je continue je tombe sur des grands nombres !
Peut être que ce n'est pas la bonne piste ?

Merci pour vos réponses
-----

[gg0]

a=2+k*2017 et 2017=2*1009-1, donc, modulo 1009, 2+k*2017=2+k(-1)=1. On trouve k=1 et a=2019 comme valeur de base. Je te laisse trouver les autres ...

Cordialement.

[kaderben]

Merci gg0 pour ta réponse.
1°) J'ai réfléchis un peu plus et j'ai adopté une méthode qui est assez longue( donc peu pratique! )
a=2+2017k ET a=1+1009k'
donc 2+2017k=1+1009k'
J'applique le théorème de Bézout avec k et k' entiers inconnus:
Les solutions sont: {2017q+2;1009q+1}, q entier
donc a=2017(2017q+2)+2 et a=1009(1009q+1)+1
J'ai vérifié pour quelques valeurs de q et ça marche mais c'est très long!

2°) J'ai voulu adopter ta méthode mais je n'arrive pas à comprendre ceci:

donc, modulo 1009, 2+k*2017=2+k(-1)=1. On trouve k=1

[gg0]

Tu n'es pas capable de réduire 2017 modulo 1009 ? 2018=2 fois 1009.

[A voir en vidéo sur Futura]

[vanos]

Je calcule le ppcm(2017;1009)=2035153 et si je continue je tombe sur des grands nombres !
Peut être que ce n'est pas la bonne piste ?

Sûrement pas ! Il n'y qu'un seul PPCM par définition, continuer est absurde.