Demontrer le minimum d'une fonction

**NathanDesjardins** · 06/12/2018, 16h34

Bonjour. Je suis en 2nd et j'ai un DM de maths où je dois démontrer le minimum d'une fonction avec un méthode précise que je n'ai pas compris.
Voici un exemple de la méthode :
f(x)= 6-(x+4)² -6 est le maximum de la fonction
f(x)-6 = 6-(x+4)²-6 = -(x+4)² or pour tout x ∈ IR, (x+4)² ⩾ 0 donc -(x+4)² ⩽ 0
f(x)-6 ⩽ 0
f(x) ⩽ 6

Ma fonction est √(x²+20²)+√(50²+(40-x)²)
Je doit prouver que 80.6 est le minimum avec la méthode citée plus haut.
Je vous remercie d'avance j'ai beaucoup de mal avec les démonstrations.

**gg0** · 06/12/2018, 16h57

Bonjour.

La méthode que tu cites est basée sur le fait qu'un carré est toujours positif. Elle convient pour des expressions polynômes du second degré. Je ne vois pas en quoi elle s'appliquerait sur une somme de racines carrées.

Peux-tu nous scanner l'énoncé du DM, qu'on voie comment t'aider ?

Cordialement.

**NathanDesjardins** · 06/12/2018, 17h18

Merci pour la réponse rapide. Voila mon énoncé est le suivant :
Nom : Nouveau_document_2018-12-06_18.12.01_1[1].jpg
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La fonction citée plus haut a était touvée par mes soins et vérifiée.
Une partie de la question 4 consiste a prouver que ma réponse trouvée grâce au tableau de variation est bonne en l'occurrence je dois prouver que 80.6 est le minimum de ma fonction.

**ansset** · 06/12/2018, 17h25

bjr,
par pythagore , tu peux exprimer facilement PA² et PB² en fonction de x, de OH-x et des hauteurs OA et HB.
et donc en déduire PA et PB, et donc leur somme.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**NathanDesjardins** · 06/12/2018, 17h28

Bonjour et merci de votre réponse mais se n'est pas le problème ici je souhaite juste pour démontrer que 80.6 est le minimum de la fonction √(x²+20²)+√(50²+(40-x)²).

**ansset** · 06/12/2018, 18h56

la question 3) est de conjecturer .
donc de mettre ceci sur ta calculette.
(car je ne crois pas que tu ai suffisamment appris sur les dérivées ).

**ansset** · 06/12/2018, 19h08

ps : première phrase pas claire du tout !
distants de 50 m
dont l'une à 20 m ( de la rivière ) et l'autre à 50 m.
ce qui fait un écart de 30 et non de 50.

**NathanDesjardins** · 06/12/2018, 19h16

Merci je ne sais pas si vous l'avez vu sur mon scan mais j'ai bien 30m comme vous le dites. D'autre pars en 2nd nous n'apprenons pas les dérivés.
Auriez vous une solution pour démontrer le minimum de ma fonction ?

**ansset** · 06/12/2018, 19h52

Envoyé par NathanDesjardins

Merci je ne sais pas si vous l'avez vu sur mon scan mais j'ai bien 30m comme vous le dites. D'autre pars en 2nd nous n'apprenons pas les dérivés.
Auriez vous une solution pour démontrer le minimum de ma fonction ?

donc ce n'est pas
√(x²+20²)+√(50²+(40-x)²). mais
√(x²+20²)+√(50²+(30-x)²). !!!!

**CARAC8B10** · 06/12/2018, 20h00

Bonsoir,
Je te propose une construction géométrique du point P où placer la pompe pour minimiser les longueur de tuyau.
Soit A' le symétrique de A par rapport à la rivière (OH). Le minimum de AP + PB correspond au point P intersection de A'B avec OH.
Alors A', P et B étant alignés A'P + PB est minimum.
Et puisque A'P+ PB = AP + PB ...

**gg0** · 06/12/2018, 20h00

Non, Ansset,

tu te trompes, le 40 est bien correct, c'est la longueur OH, et x est OP.

Cordialement.

**gg0** · 06/12/2018, 20h02

NathanDesjardins,

tu n'as, en seconde, aucun moyen de démontrer que telle ou telle valeur est le minimum. Ton énoncé ne le demande pas (4 - Répondre à la question), seulement d'utiliser ta calculette pour répondre (sans garantie, mais ça marche).
Note aussi qu'on te demande x.

Cordialement.

**NathanDesjardins** · 06/12/2018, 20h12

Merci pour toutes vos réponse j'en conclus que je ne vais pas avoir a démontrer le minimum comme le dit gg0. Passer une bonne soirée et merci encore pour votre aide.

**ansset** · 06/12/2018, 20h34

Envoyé par gg0

Non, Ansset,

tu te trompes, le 40 est bien correct, c'est la longueur OH, et x est OP.

Cordialement.

pas ou mal lu.
une distance à 20 l'autre à 50, dans le texte !

**gg0** · 06/12/2018, 20h47

Oui,

mais un triangle rectangle de côtés 50 (hypoténuse), 30 et .. (demandé).

Cordialement.

**ansset** · 06/12/2018, 21h13

On ne doit pas lire le même graphique, ou alors faut c'est un ophtalmo qui me faut.
d'où sort le 40 ? je n'y vois plus rien ou quoi ?

**ansset** · 06/12/2018, 21h25

d'ailleurs le minima se situe bien à env 8,6 ( et non 80,6) et en prenant 30 et non pas 40, qui ne sort de nul part !
de toute façon x est forcement compris entre 0 et 30 !

**ansset** · 06/12/2018, 21h44

une réponse juste serait 60/7 , soit proche de 8,6

**CARAC8B10** · 07/12/2018, 07h48

Bonjour,
Il n'aurait pas été stupide de faire faire un peu de géométrie à ces élèves de seconde avant de leur faire manipuler la calculatrice.
Si l'on admet que la ligne droite est le plus court chemin entre 2 points, la position recherchée du point P correspond à l'intersection des 3 segments AB', A'B, OH, les points A' et B' étant les symétriques respectifs des points A et B par rapport à OH.
et par suite de la similitudes des triangles rectangles OAP et HBP :
$\text{[math]}$ soit $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ soit environ 17,77 mètres

**gg0** · 07/12/2018, 08h10

Ansset :

Le triangle rectangle ABC, avec AB=50 et BC=50-20=30, donc AC=40=OH. Le 40 ne sort pas de nulle part, mais du schéma, où cette longueur est signalée et demandée (par des petits points).
Le 80,6 est effectivement une valeur fantaisiste (x est entre 0 et 40, et 8,6 n'est pas non plus la bonne valeur, qui est plutôt 80/7 (Carac8B10, tu as pris 40 pour OA au lieu de 20).
Une représentation graphique de la fonction de NathanDesjardins donne assez rapidement une valeur approchée d'environ 11,43.

Cordialement.

**ansset** · 07/12/2018, 12h43

il y a pour moi une ambiguïté dans l'énoncé.
selon le texte , OH=30 ( distances respectives à la rivière de 20 et 50)
selon l'ajout manuscrit CB=30.
d'ou vient ce chiffre que je n'ai pas vu au départ ?
ce qui donnerait AC=40
hors AC=OH !!
les deux sont contradictoires et aboutissent à des résultats différents !

**ansset** · 07/12/2018, 12h53

ps :
le 30 se déduit effectivement de 50-20, mais c'est contradictoire avec la première phrase de l'énoncé.
( les distances respectives à la rivière )

**ansset** · 07/12/2018, 14h06

compris mon erreur , ce qui est présenté comme des "distances" sot en fait des "hauteurs" / rivière.
désolé pour ma confusion.

**gg0** · 07/12/2018, 15h08

Heu ... comme c'est en plan (horizontal) le mot distance était bien le bon.

Cordialement.

**ansset** · 07/12/2018, 15h29

si tu veux, moi, il m'a embrouillé.
mais qu'importe ton résultat plus haut est bien sur le bon ! ( correction faite )

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