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Demontrer un minimum d'une fonction



  1. #1
    mhdayn

    Demontrer un minimum d'une fonction

    Bonjour/bonsoir,

    ci dessous, en pièce jointe se trouve une photo dans laquelle je n'ai pas compris la démarche effectuée pour démontrer que 1,5 est le minimum de f sur [-0,5;7].

    la fonction est f(x)=x-1,5+(4/x+1)

    je n'ai pas compris pourquoi après avoir fait
    x-3+(4/x+1) apparait ((x-3)(x+1)+4)/x+1 mais pourquoi y a t il un x+1 qui apparait et en quoi le résultat (x-1)au carré/x+1 dit que f(1)=1,5.

    Je serais très ravi et reconnaissant de votre réponse,

    Merci.

    -----

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  3. #2
    Duke Alchemist

    Re : Demontrer un minimum d'une fonction

    Bonsoir.

    f(x)>m est équivalent à f(x)-m>0, on est d'accord ?
    Le but est donc ici de montrer la deuxième inégalité. Pour étudier le signe d'une expression, le mieux est de factoriser cette expression.
    L'apparition du "-3" ne te choque pas : c'est "-1,5 - 1,5".

    Ensuite, toute l'expression est mise au même dénominateur (donc on multiplie x-3 par x+1).
    En l'état, le signe du numérateur n'est pas très simple à étudier donc il nous faut (ici) développer le numérateur afin de le factoriser au mieux.
    Ici, on a : (x-3)(x+1)+4 = x²-3x+x-3 + 4 = x²-2x+1 = (x-1)²
    (Connaître les identités remarquables peut s'avérer utile )
    (x-1)²=0 pour x=1 donc f(1)-1,5=0 donc f(1)=1,5 et c'est la valeur minimale de f sur l'intervalle proposé.

    Est-ce plus clair ?

    Cordialement,
    Duke.

  4. #3
    mhdayn

    Re : Demontrer un minimum d'une fonction

    Bonsoir,

    merci beaucoup de votre réponse, c'est plus clair, sinon je savais bien que le -3 était la somme de -1,5 et -1,5. Mais je ne savais pas que pour étudier le signe de l'expression il fallait la factoriser (j'ai peut etre oublié) et puis je n'avais pas fait attention aux identités remarquables en effet,
    bonne soirée.

  5. #4
    albanxiii

    Re : Demontrer un minimum d'une fonction

    Remarque : la solution ne montre pas que 1,5 est le minimum, mais un minimum.
    Enfin, bon, la phrase est tellement mal foutue qu'on peut pinailler...
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  6. #5
    mhdayn

    Re : Demontrer un minimum d'une fonction

    Bonsoir,
    pourtant le manuel précise bien au début l'intervalle donc c'est bien LE minimum non ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Ragnis

    Re : Demontrer un minimum d'une fonction

    Citation Envoyé par mhdayn Voir le message
    Bonsoir,
    pourtant le manuel précise bien au début l'intervalle donc c'est bien LE minimum non ?
    Il s'agit du minimum sur cette intervalle là et non sur la fonction entière, appelé minimum local. La démonstration est faite sur [-0.5;7] et pas sur +/- l'infini !
    C'est pour cela qu'il dit que l'on peut pinailler

    Cdt.

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  10. #7
    mhdayn

    Re : Demontrer un minimum d'une fonction

    Bonjour,

    je ne connaissais pas le terme de minimum local qui est le minimum de la fonction entoère, merci de l'explication.

  11. #8
    Ragnis

    Re : Demontrer un minimum d'une fonction

    Citation Envoyé par mhdayn Voir le message
    Bonjour,

    je ne connaissais pas le terme de minimum local qui est le minimum de la fonction entoère, merci de l'explication.
    Non au contraire, le terme local = sur une partie délimitée. Donc ici sur la partie délimitée qui est [-0.5;7].

    Un minimum sur une fonction entière est un minimum global.

  12. #9
    mhdayn

    Re : Demontrer un minimum d'une fonction

    D'accord au temps pour moi.

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