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[TS spé] Besoin d'aide pour devoir maison - Les nombres de Fermat




  1. #1
    Tolkirum

    [TS spé] Besoin d'aide pour devoir maison - Les nombres de Fermat

    Bonjour,
    J'ai fait les quatre premières questions, c'est pas spécialement difficile ; par contre, je n'arrive pas à démontrer que Fn et Fn+4 sont premiers entre eux (question 4). J'ai essayé de raisonner par l'absurde ou de simplement manipuler les données, je n'y parviens pas. (Et je ne suis pas encore sûr de savoir faire la suite !! C'est pour demain, d'ailleurs, ce DM .)
    2019-01-30 16_47_04-.jpg
    Des pistes ?

    -----


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  3. #2
    gg0

    Re : [TS spé] Besoin d'aide pour devoir maison - Les nombres de Fermat

    Bonjour.

    Heu ... tu parles de la question 4 ou de la question 5 (premiers entre eux) ? Si c'est bien la question 5, donne les résultats ou raisonnements des questions 2, 3 et 4.

    Et il est assez facile de prendre un diviseur commun de Fn et Fn+k et de regarder ce qu'on peut en dire avec la question précédente ...

    Cordialement.

  4. #3
    Tolkirum

    Re : [TS spé] Besoin d'aide pour devoir maison - Les nombres de Fermat

    Oui, je parle de la 5 et non de la 4 (petite erreur de ma part). J'ai tout fait au brouillon, c'est pas très beau à voir, mais en gros, à la question 2, on trouve, en développant et en réduisant, le nombre 1 + (-1)^(p-1) * x^p. Pour la question 3, on utilise l'égalité qu'on vient de démontrer (entre le nombre que je viens d'écrire et le nombre donné en question 2 qu'il serait pénible de recopier ici) et on simplifie le (-1)^(p-1) en -1. On a donc [le nombre donné en question 2] = 1 - x^p et on multiplie par (-1) des deux côtés. On pose N = - [la première parenthèse donnée par l'énoncé] et on retrouve l'égalité qu'il faut démontrer pour la question 3. Pour la question 4, ça se démontre assez facilement avec la définition de Fn et l'égalité démontrée. C'est à partir de la question 5 que je coince. En vrai, je vois pas trop ce que je peux te donner de plus, en soi, tout ce qui est exploitable se résume aux égalités démontrées ; elles sont dans l'énoncé. Je suis désolé, je ne maîtrise pas du tout la dactyllographie quand il s'agit d'écritures mathématiques... Merci en tout cas de ta réponse rapide.


  5. #4
    gg0

    Re : [TS spé] Besoin d'aide pour devoir maison - Les nombres de Fermat

    En réécrivant , on voit qu'un diviseur commun à et est un diviseur de 2. Et comme ce sont des nombres impairs ...

    Bonne continuation ...

  6. #5
    Tolkirum

    Re : [TS spé] Besoin d'aide pour devoir maison - Les nombres de Fermat

    Je ne comprends pas d'où vient cette égalité. On a Fn+k - Fn * N = 2, mais je ne vois pas comment faire disparaître le N.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    gg0

    Re : [TS spé] Besoin d'aide pour devoir maison - Les nombres de Fermat

    Heu ... c'est moi qui copie mal :

    En réécrivant , on voit qu'un diviseur commun à et est un diviseur de 2. Et comme ce sont des nombres impairs ...

    Le N est bien là, ça ne change rien. Cependant, tu n'as pas sérieusement réfléchi à l'idée que j'exprimais, sinon tu aurais rectifié de toi-même.

    Bonne continuation ...

  9. #7
    Tolkirum

    Re : [TS spé] Besoin d'aide pour devoir maison - Les nombres de Fermat

    Je suis navré, j'ai effectivement réfléchi en conceptualisant ce possible oubli du N, mais dans ce cas, je ne comprends pas pourquoi un diviseur commun à Fn+k et Fn serait un diviseur de 2. En fait, je veux bien réfléchir au maximum par moi-même et essayer le plus possible, mais là je ne vois pas du tout. Je ne voudrais pas abuser, mais j'aimerais un peu plus de clarté.. Je vois comment conclure et répondre à la question finale, mais pas comment montrer qu'ils ont un diviseur commun à 2.

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  11. #8
    gg0

    Re : [TS spé] Besoin d'aide pour devoir maison - Les nombres de Fermat

    Soit d un diviseur commun de et . Alors et .
    Donc
    On dirait que tu ne mets aucun sens mathématique sur le mot "diviseur". Si tu ne traduis pas l'é"nponcé en termes simples, comment feras-tu l'exercice ?

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