Proba

[invite1d656ca6]

Bonjour,

Voila j'ai beaucoup de mal pour les probabilité et j'ai du mal a comprendre les notions d'arrangements de combinaison et de permutation je ne sais pas très bien ce que c'est et quand il faut les utiliser.

D'ailkeurs dans un exercice, je ne comprend pas :
"Dans un groupe de 10 étudiants, on attribue au hasard une note entre 0 et 20 à chaque étudiants.
Quelle est la probabilité qu'au moins deux étuidants aient la meme note?"

Pour ce faire je comprends qu'on peut faire 1- proba que tous les étudiants aient des notes différentes.
Mais je n'y arrive pas. Je pense qu'il faut faire une combinaison des étudiants et des notes.

Pouvez vous m'expliquer me donner des consiels et surtout m'aider à savoir quand est ce que je dois utiliser les combinaison, permutation et arrangements ?

Je vous remercie d'avance.
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[Gwyddon]

Salut,

Un petit moyen de ne jamais se perdre : utiliser son bon sens

Ici par exemple, que te dit-il ? Que pour le premier étudiant, il y a 20 notes possibles. Pour le second, il n'y en a plus que 19 (puisque il faut que les notes soient différentes) pour chacune des 20 notes possibles du premier, donc pour le troisième, il n'y a plus que 18 notes possibles, etc...

Puisque prendre tel étudiant plutôt qu'un autre en premier n'a aucune importance, le problème revient à sélectionner 10 notes (pour 10 étudiants) parmi 20 notes disponibles (toutes différentes bien sûr). C'est donc une combinaison, et tu avais raison

Ainsi, au final, ta proba cherchée est bien

[invite1d656ca6]

Je comprends le raisonnement précédent, mais en cours on a utilisé les arrangements :
(1- C₂₁ 10 * 10 ! ) / 21¹⁰

Je comrpends le 21¹⁰. Mais je ne comprends pas le reste.

[Gwyddon]

ah oui c'est vrai que c'est 21, pas 20... Désolé pour cette coquille

Euh... Sinon je me suis planté, c'est effectivement un arrangement... Parce que les étudiants sont discernables en fait. D'ailleurs, mon raisonnement initial à base de possibilités donne un arrangement, je ne sais pas trop pourquoi je t'ai parlé de combinaisons

Donc la proba est en fait

(et là, c'est juste !)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1d656ca6]

ba pourquoi on fait un arrangement puisqu'on ne tient pas compte de l'ordre des étudiants ? est ce que ca a une importance de mettre un étudant en premier plutot qu'en dernier on peut pas les distinguer si ?

[invite19415392]

On peut bien les distinguer ^^
Donc cela revient à dire que quand tu as choisis 10 notes parmis 21, il te faut les placer parmi les 10 étudiants, d'où multiplication par 10! permutations possibles.

Note que si tu veux qu'ils soient indistinguables, c'est possible aussi - tu te places dans un autre univers des possibles. Mais ça va changer la formule de dénombrement du cardinal de l'ensemble des possibles - pas énormément, juste ... une division par 10!

[invite1d656ca6]

Le fait qu'il faut placer 10 notes parmi 10 étudiants ce n'est pas des combinaisons ?

[shokin]

Dans un groupe de 10 étudiants, on attribue au hasard une note entre 0 et 20 à chaque étudiants.
Quelle est la probabilité qu'au moins deux étuidants aient la meme note?

D'abord, il faut savoir combien de notes sont possibles pour chaque élève : si elles vont au point près, il y en a 21 (de 0 à 20) par exemple.

Ensuite définis le référentiel. Combien y a-t-il de combinaisons de notes possibles pour ce groupe de 20 élèves ?

Méthode normale : tu cherches 1-proba(tous ont des notes différentes) ; pour que tous aient des notes différentes, le premier étudiant a 21 notes possibles, le deuxième en a ..., le troisième en a ... et tu constateras...



Mais dans cet exercice, pour calculer la probabilité que tous les élèves aient des notes différentes, on peut penser à un truc (qui fait gagner du temps ? ) :

21 notes possibles, 20 élèves.

Si ces 20 élèves ont tous des notes différentes. Il y a donc 20 notes différentes effectivement attribuées, donc 1 note non attribuée.

On cherche alors la probabilité que la note 0 (par exemple) ne soit pas attribuée, puis on multiplie par 21.

Shokin

[Gwyddon]

Le fait qu'il faut placer 10 notes parmi 10 étudiants ce n'est pas des combinaisons ?

En fait, il y a deux opérations distinctes lors du dénombrement des possibilités (si tu considère les étudiants indiscernables, c'est-à-dire l'ordre ne compte pas) si tu veux tout détailler :

1/ Le choix des dix notes différentes

2/ L'attribution de ces notes aux étudiants.

Pour la première, c'est bien une combinaison comme tu le sentais.

Pour la seconde, c'est le comptage de toute les permutations possibles de ces dix notes parmi les 10 étudiants (ça tu - et je, lors de ma formalisation - l'avais oublié)


Donc possibilités que les 10 étudiants aient 10 notes différentes.

[invite35452583]

Pouvez vous m'expliquer me donner des consiels et surtout m'aider à savoir quand est ce que je dois utiliser les combinaison, permutation et arrangements ?

En reprenant à partir de l'exercice :
exemples de ce qui auraient été des combinaisons :
1) combien y a-t-il de possibilités de 10 notes distinctes
2) combien y a-t-il de groupes de trois élèves

rappel de la question qui a mené à un arrangement :
3) "proba que tous les étudiants aient des notes différentes."

Une différence et de taille :
aux 1) et 2) il n'est question que d'une collection (notes pour le 1), notes pour le 2). On calcule donc un nombre de sous-ensembles.
aux 3) il est question des deux ensembles dont un celui des étudiants s'injectent (tous des notes différentes) dans celui des notes. C'est donc un arrangement.
Attention pour que ce soit un arrangement il faut que ce soit injectif. Ainsi si on prend comme univers l'ensemble de toutes les possibilités étudiants-notes, on calcule le cardinal des applications de {étudiants} dans {notes} d'où un cardinal de l'univers : (nombre de notes)^(nombre d'étudiants).

Un des problèmes est que l'on présente souvent comme exemples d'arrangement des processus dans lequel ce qui permet de distinguer est la place (1er, 2ème...). D'où quand on reprend le raisonnement (juste mais "dangereux") donné par 09Jul85, comme on a utilisé 1er, 2ème... artificiellement, on a l'impression qu'il faut le "retirer".
Mais décortiquons :
on a introduit un troisième ensemble {1er, 2ème, 3ème....} dans le raisonnement.
Dans celui-ci, on a à la fois dans une phrase type "...1er étudiant ...20 notes possibles" :
i) {1er, 2ème, 3ème...} qui s'injecte dans {étudiant}
ii) {étudiants} qui s'injecte dans {notes}
ii) {1er, 2ème, 3ème...} qui s'injecte dans {notes}
Mais i) et ii) sont totalement liés ici. On a choisi une seule bijection entre {1er, 2ème...} et {étudiants} on ne les a pas compté ! Autrement dit ce qui est dit est : si les étudiants au lieu de s'appeller Fatima, Alian, Sylvie, Moussa... s'appellent 1er, 2ème... on ne change rien aux nombres de possibilités (mais c'est plus simple de compter comme ça). Il n'y a donc pas lieu de diviser par n!.

Comparons au calcul classique des combinaisons :
on calcule le nombre de paquets de m trucs dans un fatras de n trucs.
Pour le 1er, m possibilités
Pour le 2ème, (m-1) possibilités
...
donc si on avait mis un classement (ou un rangement ou encore un arrangement) il y aurait m(m-1)...(m-n+1)=m! / (m-n)!
Mais, ce classement n'a ici aucune importance, chaque paquet a été compté n! fois il faut donc diviser par n!
Ici 1er, 2èmme, 3ème... n'a pas de pendant comme l'étaient nos étudiants que l'on sait distinguer : pas besoin de les classer 1er, 2ème... pour celà.

Conclusion :
quand on introduit des réflexions du type "on en prend un 1er..." bien faire attention à ce que l'on compte :
i) des paquets de trucs parmi d'autres trucs mais où il n'est question que de trucs : combinaison
ii) nombre d'injection d'un ensemble de trucs dans un ensemble de bidules : arrangement (avec le cas particulier si les deux ensembles ont même nombre d'éléments alors on compte des permutations)
iii) nombre d'application d'un ensemble de trucs dans un ensemble de bidules (deux trucs peuvent avoir le même bidule) : puissance. (Ce cas pose généralement peu d'hésitations)