dm matrice

[Lucas34200]

Bonjour j'ai un dm à faire sur les matrices assez compliqué pourriez vous me dire si ce que j'ai fait est bon et m'aider sur les questions où je bloqe
Partie I : Fonction homographiqueOn considère la fonction homographique définie par f(x)=ax+b/cx+d avec c≠0 et d ≠0.On suppose de plus que ad−bc≠0et que −dc<0.La fonction f est donc définie sur [0;+∞[ ( R + ) .On associe à f la matrice A=a b
. c d
1. Démontrer que le sens de variation de f dépend du signe du déterminant de A.
1j'ai fait la dérivé et ait obtenu ad - bc en numérateur donc c'est du signe du déterminant
2. Démontrer que pour tout x réel, on a a/c⩽f(x)⩽b/d si f est décroissante ou b/d⩽f(x)⩽a/c si f est croissante.
2. j'ai completé mon tableau de variations et de 0 à + infini c'est décroissant avec b/d en limite en 0 et a/c comme limite en + infini , donc a/c<f(x)<b/d mais je sais pas comment justifier la deuxieme partie
PartieII: Approximation de √2√2est la solution positive de l'équation x^2−2=0(E).
1.Démontrer que (E)⇔x=x+2/x+1. Autrement dit, √2est solution de x=f(x)et fonction homographique.
1. j'ai isolé et fait les manifs et ait obtenu x²- 2 = 0 ce qui montre que racine de 2 est solution
2. Utiliser la partie I pour donner un encadrement de √2.3.
3 Calculer A2et A3et en déduire de nouveaux encadrements de √2
cependant pour les deux dernières questions je coince un peu
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[CARAC8B10]

Bonsoir,
Objection votre Honneur :
La fonction

f(x)=ax+b/cx+d

n'est pas une fonction homographique

[ansset]

....
2. Démontrer que pour tout x réel, on a a/c⩽f(x)⩽b/d si f est décroissante ou b/d⩽f(x)⩽a/c si f est croissante.
2. j'ai completé mon tableau de variations et de 0 à + infini c'est décroissant avec b/d en limite en 0 et a/c comme limite en + infini , donc a/c<f(x)<b/d mais je sais pas comment justifier la deuxieme partie
PartieII: Approximation de √2√2est la solution positive de l'équation x^2−2=0(E).
1.Démontrer que (E)⇔x=x+2/x+1. Autrement dit, √2est solution de x=f(x)et fonction homographique.
1. j'ai isolé et fait les manifs et ait obtenu x²- 2 = 0 ce qui montre que racine de 2 est solution
2. Utiliser la partie I pour donner un encadrement de √2.3.
3 Calculer A2et A3et en déduire de nouveaux encadrements de √2
cependant pour les deux dernières questions je coince un peu

-pour la deuxième partie " b/d⩽f(x)⩽a/c si f est croissante.", c'est symétrique de l'autre cas.
ad>bc , la fonction est strict croissante avec f(0)=b/d et lim(+l'inf) f(x)=a/c.
je ne comprend pas le souci

-pour la partie II
que valent ici a,b,c et d.
la fonction est elle donc croissante ou décroissante.?
entre quelles valeurs varie-t-elle entre 0 et +l'inf ?
x=f(x) a-t-il une solution dans l'intervalle [0,+l'inf[ ?
qu'en déduire pour un premier encadrement de rac(2) ?
bon travail.

[Lucas34200]

Bonsoir merci de la réponse et bien concernant la 2 de la partie I j'ai effectué mon tableau de variations et j'ai la fonction qui est strictement décroissante sur [0;+ infini [ avec a/c en minimum
dans(E) a vaut x , b vaut 2 et c vaut x et ma fonction est décroissante et vaut b/d en 0 et a/c en minimum mais je vois pas comment cela pourrait m'aider à faire un encadrement de racine de 2 et à calculer A 2 A 3

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

ben ! elle est effectivement décroissante et f(0)=2
que vaut la lim de f quand x->+l'inf ?
existe-t-il une solution entre 0 et + l'inf à l'équation x=f(x) ?
indice : en comparant les fonctions f(x) et g(x)=x.
en déduire un premier encadrement simple de rac(2)

pour la suite, je ne comprend pas ce que sont A 2 A 3 ???????
il manque qcq chose dans la présentation de ton exercice.

[Lucas34200]

La limite de f quand x tend vers °+ l'infini est a/c non ?
non il n'y en a pas , je n'ai pas de fonction g(x) dans mon énoncé donc ça me paraît bizarre
la matrice A est définie par ( a b )
c d Pour calculer A² et A ^3 je dois remplacer a b c d par les valeurs des coefficients de la fraction (E) pour pouvoir effectuer les calculs ?

[ansset]

mais ici f(x) est connue : f(x)=(x+2)/(x+1)
donc on connait a,b,c,d et f(0)=2 et la lim en +l'inf vaut 1
si j'ai nommé la fonction g(x)=x,
c'est qu'il faut montrer qu'il existe une solution à l'équation (E) dans l'intervalle [0,+l'inf[
donc un x tel que g(x)=x=f(x).
ce qui veut dire qu'elles se croisent sur l'intervalle.
une fois ceci démontré, on a donc bien un premier encadrement 1<rac(2)<2.

et oui, si A est la matrice
avec les valeurs ad-hoc de a,b,c,et d .
calculer A² et A³ revient à faire les multiplications matricielles.

mais à quel moment cette matrice intervient dans l'énoncé.?
j'ai l'impression que tu n'en donnes pas l'intitulé complet.

[Lucas34200]

Bonjour j'ai effectué les calcules matriciels et j'ai trouvé A^3 ( 7 10
5 7
J'ai encadré en remplacant b/d par 10/7 et a/c par 7/5 et j'ai dit que comme b/d<racine 2 < a/c j'ai encadré mon racine de 2 , La solution dont vous parlez est racine de 2 ?
Mais concernant les deux tableaux de variations que j'ai à effectuer pour le deuxième cas de figure où b/d<a/c je sais pas comment justifier que ma fonction est strictement positive pourriez vous m'aider svp c'est ça qui me pose pb depuis le début

[ansset]

comprend pas bien ce qui te gène.
est ce tj la la question 2) de la partie I, ou la partie II. ?
dans le deuxième cas la fonction f(x) est clairement identifiée ( les a,b,c,d sont connue ) et elle est bien positive et décroissante.

ps: ton calcul de A3 n'est pas bon !

[Lucas34200]

ce que je veux dire c'est que dois je mettre sur la ligne des x de mon tableau de variations pour prouver qu'elle est positive, Je mets ad- bc supérieur à 0 ? Merci je viens d'effectuer le calcul de nouveau c'esr 9 10
5 7 ?

[Lucas34200]

Je suis sûr que c'est évident mais le fait qu'il y ait que des lettres me perturbe un peu pour démontrer que c'est positif

[ansset]

1. Démontrer que le sens de variation de f dépend du signe du déterminant de A.
1j'ai fait la dérivé et ait obtenu ad - bc en numérateur donc c'est du signe du déterminant
2. Démontrer que pour tout x réel, on a a/c⩽f(x)⩽b/d si f est décroissante ou b/d⩽f(x)⩽a/c si f est croissante.

c"est donc déjà ici que tu bloques?
tu as déjà montré que le signe de la dérivée était le même que celui de ad-bc.
donc, ad-bc <0 , soit ad<bc <=> la fct est décroissante.
f(x)=(ax+b)/(cx+d)
f(0)=b/d et lim (+l'inf ) f(x)=a/c
comme la fct est décroissante
lim(+l'inf )=a/c <= f(x) <= b/c= f(0)
le raisonnement est totalement symétrique dans le cas ou ad-bc >0.

pour la partie II: ( avec des valeurs connues de a,b,c,d. )
ton A³ est encore faux.
et par ailleurs, rien n'explique clairement dans le raisonnement que les nouvelles matrices donne de nouveaux encadrements.
ne manque-t-il pas qcq chose dans l'énoncé présenté ou les questions posées ?
ou alors, c'est à toi de le justifier.

[ansset]

complément :

et par ailleurs, rien n'explique clairement dans le raisonnement que les nouvelles matrices donne de nouveaux encadrements.
ne manque-t-il pas qcq chose dans l'énoncé présenté ou les questions posées ?
ou alors, c'est à toi de le justifier.

En supposant que l'énoncé soit ainsi, sans étape intermédiaire, il faut donc justifier que les nouveaux coeffs donnés par A²,A³,Aⁿ... donne de nouveaux encadrements de la solution x=f(x). ( soit donc ici pour rac(2))
cela prend une ou deux lignes, mais c'est nécessaire.