Problème de notation

[invite8cae6e91]

Bonjour à tous !

Je travaillais des exos de récurrence et une question m'est venue par rapport aux notations employées pour les propriétés : on voit souvent écrit P(n) ou P_n (désolé je ne savais pas mettre le "n" en indice) pour désigner une propriété ; ces notations sont elles les mêmes ? Ou y en a-t-il une qui est inadaptée à la situation ? Je suis un peu perdu

De plus, ai-je le droit de désigner par P(n) (ou P_n) une propriété ne dépendant pas de "n" dans sa formulation ? Par exemple : P(n)="la suite u_n est croissante" . C'est un peu bizarre, mais pourtant dans mon initialisation, je peux bien dire que si la suite est positive au rang 1, alors P(1) est vérifiée !

Merci beaucoup d'éclairer ma lanterne car j'avoue qu'une nuance doit probablement m'échapper !
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[gg0]

Bonjour.

Les notations ne sont pas importantes, ce qui compte c'est ce qu'elles vont signifier. Les notations sont des raccourcis d'écriture : P_n (*) pour "la propriété qu'on obtient pour la valeur n de la variable"; P₃ pour "la propriété qu'on obtient pour la valeur 3 de la variable n".

Ton exemple est assez aberrant, car tu semble mélanger la suite u avec ses valeurs : Ce n'est pas le nombre u_n qui est "croissante", mais la suite (u_n)_n. Comme "la suite est croissante" est une propriété qui ne dépend pas d'un entier (elle l'est ou elle ne l'est pas), il n'y a pas de récurrence ici.
Mais il arrive que pour prouver qu'une suite est croissante, on utilise une récurrence. Et c'est la propriété qui est dans la définition qu'on veut prouver pour tout n : . A ce moment-la, on appelle P_n cette propriété (elle dépend bien d'un entier), et on démontre par récurrence, que pour tout entier m P_m est vrai.

J'ai utilisé la notation P_n, j'aurais pu utiliser P(n), ça m'aurait d'ailleurs simplifié la frappe du texte

Cordialement.

(*) J'ai obtenu l'indice avec le x₂ qu'on a dans "répondre" ou dans "aller en mode avancé" au dessus de la zone de texte

[invite8cae6e91]

Merci de ta réponse gg0 !
Donc je n'ai pas le droit de dire que la propriété P(n) est "la suite (u_n)_n est croissante" , mais il est correct de dire que P(n) est la propriété "au rang n, on a u_n <= u_n+1", et donc "la suite (u_n)_n est croissante" se traduit par "P(n) est vraie pour tout entier naturel n". C'est bien ça ?

[gg0]

C'est exactement ça. Logique, non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8cae6e91]

Oui, merci beaucoup c'est plus clair maintenant !
Juste une dernière question : dans ce cas, puis-je appeler la P propriété "la suite (u_n) est croissante" et noter P(n) la propriété "au rang n, on a un <= un+1" pour unifier la notation ?

[gg0]

A priori, il vaut mieux éviter d'utiliser la même lettre pour deux choses différentes. En fait, tu essaies ici de réintroduire ce que je t'ai dit d'éviter ("unifier la notation"); je commence à croire que tu n'as rien compris. D'ailleurs, pour quoi donner un nom à la phrase "La suite (u_n) est croissante" ??? Tu es parfaitement capable de l'écrire quand tu en as besoin.
Et même dans une preuve par récurrence, on n'a pas besoin de donner un nom à l'hypothèse de récurrence, si elle est simple, donc on peut éviter le P(n) dans de nombreux cas.
Si tu comprends ce qu'on fait dans ce genre de preuve, inutile de se poser trop de questions, on rédige, c'est tout (et ce n'est qu'une question d'utilisation de son intelligence).