Démontrer qu'un point est un barycentre...

[Matlabo]

Re-Bonsoir;
Encore moi ….. cette fois-ci c'est une je n'arrive pas à répondre à cette question.

(O,i,j,k) est un repère orthonormé dans l’espace.
∆1 et ∆2 sont deux droites qui appartiennent au plan (P) et leur intersection donne le point C.

A appartient à ∆1 et D appartient à ∆2.

B est un point dans l'espace et sa projection verticale sur le plan (P) le point C.

I milieux de [AD].

Sachant que K est le barycentre de {(B;1)I;2)} avec G projection verticale de K sur le plan (P).

Démontrer que le point G est le barycentre des points A, C, D.


Voilà ce que j'ai fait.

On a

[Tex] \vec{KB} = \vec{GC}[\tex]

Donc :

On a I milieu de [AD] ⇔

Donc pour toute autre point ( on prend K dans notre cas)



Donc



On fait entrer le point G dans

On obtient

Mais là c'est l'impasse quoique je fasse je n'obtiens pas ce que je veux….

Merci pour votre “trés” précieuse aide!
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[gg0]

Bonjour.

Si A et D sont distincts de C, tout point du plan P est le barycentre des points A, C et D affectés de coefficients convenables.
Si tu n'as pas ça dans ton cours, tu te places dans le repère (C, CA, CD), tu définis les coordonnées (u,v) de G dans ce repère (on se moque qu'il soit le projeté de K, comme il est dans le plan, il y a des coordonnées - qu'on ne connaît pas exactement, mais ça aussi on s'en moque). Puis tu transformes la relation CG=uCA+vCD en relation barycentrique.

Bon travail !

[Matlabo]

Bonjour.

Si A et D sont distincts de C, tout point du plan P est le barycentre des points A, C et D affectés de coefficients convenables.

Oui mais là on doit trouver les coefficients des points A,C,D tel que G soit le projeté de K sur (P) on doit donc prendre en compte ceci pour avoir les bons coefficients.... ?

[gg0]

Pour avoir "les bons coefficients", il faut connaître la position exacte de G qui dépend de la position exacte de K qui dépend de la position exacte de B qui est à priori (d'après ton énoncé) n'importe où !!
Tu es sûr que tu as vraiment traduit l'énoncé ? Ce que tu écris ressemble plus à de la "traduction élève" d'un énoncé mal compris.

Mais si l'énoncé est celui que tu as repris au message #1, la question est assez niaise, et en fait évidente (il n'est rien demandé sur les coefficients, relis ce que tu as écrit).

Bonne nuit !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Matlabo]

Oui enfaîte j'ai oublié de préciser qu'on a les coordonnées de ces points... Mais en quoi ces coordonnées pourraient nous aidés...

[ansset]

bonsoir :

\vec{KB} = \vec{GC}

ça c'est déjà faux.

tu peux regarder le triangle ICB.
K est sur la droite IB ( pas n'importe où ) et G le projeté de K sur le plan, soit sur la droite IC.
tu en déduis une relation entre \vec{IG} et \vec{GC}
et sachant que I est le milieu de AB, cette relation permet de montrer que G est le barycentre des trois points.

[gg0]

Bon,

on ne va pas perdre du temps sur un énoncé incomplet ...

[ansset]

par défaut, la question est interprétable comme G barycentre de A,C,D avec coeffs identiques (*) ( puisqu'ils ne sont pas mentionnés ).
je n'ai pas de souci avec ça.

ps : equiv à coeffs =1

[ansset]

ce qui revient ( pour reprendre mon premier post ) à montrer d'abord que:

[Matlabo]

Eeer.... l'énoncé est complet...

J'ai fait quelques recherches et j'ai eu ceci:
Bon L'identité se conserve lorsqu'on la projecte sur (P)
On aura donc
Donc


I milieu de [AD] <=>

On aura donc

Donc G est le barycentre de { (A;1) : (B;1) : ( C;1) }


..... Reste à démontrer l'identité qui se conservait :


[Tex] \vec{KG} et \vec{CB}[ /tex] étant orthogonaux sur (P) leur projection sur P donne vecteur nul.[/B]

J'ai un peu de doute sue ce que j'ai mis en gras..... pourquoi projetés sur P à t on le droit de le faire???


Merci pour l'aide.

[gg0]

Quelques remarques :
1) "G est le barycentre de { (A;1) : (B;1) : ( C;1) }"?? C'est plutôt, d'après la relation vectorielle précédente : "G est le barycentre de { (A;1) : (D;1) : ( C;1) }".
2) La conservation des rapports de vecteurs par projection s'appelle "théorème de Thalès". C'est une propriété de base des vecteurs.
3) Ton énoncé est tellement mal écrit que je n'avais pas vu que B n'est pas quelconque dans l'espace ("B est un point dans l'espace"), mais un point de la perpendiculaire en C au plan !! Avec le "barycentre" pour "isobarycentre", ça fait déjà beaucoup !

Cordialement.

[Matlabo]

3) << B est un point dans l'espace et sa projection verticale sur le plan (P) le point C.>> Post#1

Personnellement je ne suis pas convaincu qu'on peut éliminer ces deux vecteurs en les projetant...

Donc dorénavant lorsqu'il y'a un vecteur qui me dérange je crée un plan (biensûr pas n'importe le quel)et une projection verticale ..... Et je l'élimine....

[gg0]

Le théorème de Thalès sert à démontrer les propriétés calculatoires des vecteurs, en particulier que ku est bien défini. je vais faire à l'envers, en supposant ces propriétés connues.
On a AB = kAC. A, B et C se projettent sur une droite (*) parallèlement à une direction de plan en A', B' et C'. En utilisant la relation de Chasle :
AA'+A'B'+B'B = k(AA'+A'B'+C'C)=kAA'+kA'C'+kC'C
Je passe d'un côté les vecteurs de la droite sur laquelle on projette, de l'autre ceux de la direction de projection :
A'B' - kA'C' = kAA'+kC'C - AA'-B'B.
J'ai deux écritures d'un même vecteur (puisqu'il y a =); à gauche j'ai un vecteur de la droite sur laquelle on projette, à droite, un vecteur d'une autre direction; comme un vecteur a une seule direction s'il est non nul, j'en déduis que ce vecteur est nul : A'B' - kA'C' = 0.
On a bien A'B' = kA'C' .

Cordialement.

(*) ou un plan, même démonstration.

[Matlabo]

Je dois avouer que je n'est pas compris ce que vous avez démontré?.

[gg0]

Que les propriétés des vecteurs que tu connais prouvent que la projection conserve les rapports de vecteurs. Ce qui était ton problème au message #10.
J'ai évidemment fait la preuve dans le cas général.

NB : Pour savoir ce qui est prouvé, on recense les hypothèses, et on lit la conclusion.