Minorant, majorant

[invitec025da2d]

Bonsoir, je cherchais à m’entraîner sur les sommes (avec sigma) et je suis tombé sur un exercice - qui finalement ne concerne pas les sommations - dont je n'ai pas la correction. Aussi, pourriez-vous me dire si ce que j'ai fait est juste et judicieux SVP ? J'aurais également besoin d'un indice pour la dernière question.

Voici la consigne :

1. Résoudre l'inéquation : .
2.(a) En déduire que pour tout : .
2.(b) En déduire par équivalence une minoration de : pour tout .
3. Montrer que pour tout :


Maintenant, voici mes traces de recherches :

1. En remarquant que est positive sur [-1;+infty[ (intervalle sur lequel on doit résoudre l'inéquation), on conserve l'équivalence en passant au carré, et je trouve finalement l'ensemble solution =[0;3].

2.(a) En remarquant que pour tout , , l'inégalité suivante est vérifiée :

.

Ensuite, comme ssi ssi (les deux membres sont positifs) ssi ; il vient :

.

2.(b) Ici je ne vais pas vous mentir que j'ai eu un peu de mal, donc je ne sais pas si j'ai trouvé le minorant optimal. Je suis parti du résultat suivant :

(j'ai factorisé et réduit au niveau des "..."). Ensuite, en partant de l'inégalité du (b) j'encadre par équivalence (en enlevant 1, puis en divisant par et enfin en multipliant par 1/sqrt(n)). J'obtient alors : , soit :

comme minorant. Je reste dubitatif, la question est vague quand même non ?

3. Ici je ne vois pas trop, j'ai pensé à faire une récurrence puis à vérifier le signe d'une différence pour conclure sur l'hérédité mais je m'en sort moyennement, de plus je ne pense pas que l'exercice veuille nous amener à ça. Si vous auriez une piste je ne serais pas contre svp

Merci de l'attention que vous porterez à mon message !
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[invite23cdddab]

La minoration est la bonne. Et elle te dis que quelque soit ,



A partir de là, si tu sommes les inégalités, tu devrais voir apparaitre un truc

[invite51d17075]

J'obtient alors : , soit :

bjr,
c'est le bon minorant , juste fait pour la question suivante car de ce fait

et dans ta somme, tu peux mettre à part le cas n=1 et changer d'indice..
( ensuite les termes s'annulent deux à deux )

[invitec025da2d]

Bonsoir et merci ! Je pense avoir trouvé du coup :

L'inégalité est clairement démontrée pour n=1. Montrons la pour n>1 :

On part de notre minoration : ssi . Ainsi, comme cette dernière inégalité est vraie quelque soit l'entier naturel n non nul, on obtient par sommation, si n est supérieur ou égal à 2 :

ssi

(par télescopage).

D'où CQFD.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec025da2d]

Edit : finalement, l'exo nous amène bien à manipuler des sommes.