Majorant, Minorant, Sup(A) Inf(A)

[invite0fa77cd9]

Bonjour a tous,

Bon voilà j'ai besoin de vous, pour quelques choses qui va vous paraitre d'une simplicité infantile, mais je but dessus...

Alors voici:

A=((-1)^n)+(1/(n+1))

Donc en me demande de trouver:
*Le majorant
*Le minorant
*La Borne Sup
*La Borne Inf

Alors mon problème c'est que je ne sais pas comment faire pour justifier les résultats...pour les 4...

Alors je vous remercie d'avance de votre aide
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[invite899aa2b3]

Bonjour,
tel que tu le notes est un nombre, alors que je pense que ça doit être plutôt un ensemble. Je suppose que c'est . De plus, il est impropre de dire le majorant/minorant puisque par exemple si m est un minorant alors aussi, aussi, etc...
Vois-tu un truc qui pourrait majorer/minorer ? et ?

[invite0fa77cd9]

Oui pardon pour les abus de languages...

Donc j'ai trouvé 2 peut majorer A
Et -1 peut minorer A
Mais je sais pas comment le justifier...

[invite899aa2b3]

et donc . Il suffit de sommer.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0fa77cd9]

Ah oui c'est ultra bête en faite Oo

Et donc Sup(A) c'est 2
et Inf(A) c'est -1

Et les majorants c'est [2;+inf[
Et les minorants c'est ]-inf;-1]

[invite899aa2b3]

Il faut faire attention, ce n'est pas parce que l'on a vu que est un minorant que c'est forcément l'. Il est vrai que est l', mais il faut le justifier rigoureusement.

[invite0fa77cd9]

Bah en faite il est là mon problème...c'est que je n'arrive pas vraiment à justifier l'Inf et le Sup...
Car pour moi ça coule de source...et quand j'avais eu cet exo en colle, le colleur m'avait expliqué (très) rapidement, un truque assez compliqué...donc il a réussit à me pommer^^
Merci d'avance

[NicoEnac]

Bonjour,

En posant , intéressons-nous aux suites extraites et .


On a que et donc trouver la borne sup de revient à trouver la borne sup de . De même, trouver la borne inf de revient à trouver la borne inf de .

est clairement décroissante (il suffit de calculer pour s'apercevoir que c'est tout le temps négatif). Donc sa borne sup, est simplement.... son 1er terme ! D'où Sup(U_n) = U₀ = 2
est clairement décroissante (il suffit de calculer pour s'apercevoir que c'est tout le temps négatif). Donc sa borne inf, est sa limite en +l'infini! D'où Inf(U_n) = -1.

[invite1dda4089]

Bonjour,

est clairement décroissante ... Donc sa borne inf, est sa limite en +l'infini! D'où Inf(U_n) = -1.

merci NicoEnav pr l'explication ^^ mais j'arrive pas a comprendre qu'est ce qui nous permet de dire que la borne inf est sa limite x)
est-ce que pr toute suite decroissante la borne inf est la limite en +infini ?

[invite0fa77cd9]

Je pense que c'est parceque le borne inf étant le plus grand des minorants en cherchant sa limite en +l'infini on a obligatoirement le plus grand de ces éléments donc la borne inf... Enfin ça parait encore une fois logique...reste à savoir si ça suffit comme justification...


Et en faite je crois avoir compris, c'est car comme l'a dit NicoEnac:

On a que et donc trouver la borne sup de revient à trouver la borne sup de . De même, trouver la borne inf de revient à trouver la borne inf de .

Donc on a :


Donc la limite en +inf de revient à trouver la borne inf de Un...

Je me trompe, ou j'ai bien compris?

[invite029139fa]

Il y a quand même plus simple pour montrer que c'est la borne inf dans notre cas :
Montrer que pour tout delta strictement positif, il existe un élément de ton ensemble inférieur a .
Et comme -1 est un minorant, le tour est joué.

Par exemple : pour delta petit tu as :

[invite0fa77cd9]

Y a pas une erreur là?



Non?
Ce qui ne change pas grand chose pour la suite, mais j'aimerai savori si c'est moi qui ai fait une erreur de calcul ou non? :/

Merci de vos réponses

[invite1dda4089]