Opérateurs compacts

[invite30f06b89]

Bonjour,

voilà j'ai deux questions sur les opérateurs or c'est pas franchement ma spécialité et je bloque un peu toute aide sera donc la bienvenue :

- si j'ai A un opérateur linéaire borné entre deux Hilbert séparables est-ce qu'il est possible que soit compact sans que A le soit ? (l'autre sens est trivial bien sûr)

- il est clair qu'il existe des opérateurs diagonalisables sans être compacts (je pense à Laplace-Beltrami par exemple) mais le phénomène d'accumulation des valeurs propres en 0 est-il propre aux opérateurs compacts ?

Merci pour toute l'aide que vous pourrez m'apporter.
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[Arkhnor]

Bonjour.

La racine d'un opérateur compact positif est encore un opérateur compact. (utiliser la décomposition spectrale)
Par conséquent, si est compact, alors comme c'est clairement un opérateur positif, on a compact.
On écrit alors la décomposition polaire , et c'est terminé.

Pour la seconde question, je ne pense pas que ça les caractérise, mais je n'ai pas de contre-exemple. J'y réfléchis si je trouve un peu de temps.

[invite30f06b89]

Merci beaucoup pour l'argument.

[Arkhnor]

Il n'était pas nécessaire d'aller très loin pour trouver un contre-exemple à ta deuxième interrogation.

Sur , on définit l'opérateur par , où si et si .

On a et les valeurs propres sont exactement les .
L'opérateur n'est pas compact car, par exemple, la valeur propre 1 n'est pas de multiplicité finie.

[A voir en vidéo sur Futura]