Somme de compacts

[invite781ac61b]

Aimables mathématiciens,

J'aimerais savoir si la somme de deux compacts est compact

Merci d'avance
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[invite1237a629]

Salut,

Est-ce que tu veux dire "réunion" ?

Une réunion finie de compacts est compacte (http://les-mathematiques.net/a/t/c/node5.php3)

[invite11568c71]

Salut !

Non, Carlos Hooker parle bien de somme et non d'union.

Je suis retombé sur qqs propriétés :

1/ Toute combinaison linéaire de bornés est bornée
2/ La somme de deux fermés n'est pas nécessairement fermée
3/ Si F est un fermé et r un réel alors rF est un fermé
4/ Si K est un compact non vide alors rK est compact (r réel)
5/ Si K est un compact et F un fermé alors K + F est fermé
6/ Toute combinaison linéaire de parties compactes est compacte
(ce qui répond à ta question)

Maintenant, tout dépend à mon avis de l'espace topologique dans lequel tu te trouves. Un compact dans R^n est un borné fermé et je pense que ces propriétés ne sont valable que dans ce cas là. Il faudrait qu'un spécialiste de la topologie vienne complèter mes dires.

[invite78bdfa83]

Pour parler de somme il faut bien des espaces particuliers...
petite quesion :
Tu dis que la somme d'espaces fermés n'est pas nécéssairement fermé. Et tu rajoute que la somme de bornés est bornés ( pas de problème à cela ... )
En dimension finie, un compact est bien un fermé borné...
Quels contre exemples ya t'il pour la somme de deux fermés n'est pas fermé ?

PS: je pars un petit peu dans toutes les directions pardon...)

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

Quels contre exemples ya t'il pour la somme de deux fermés n'est pas fermé ?

Dans le plan , l'hyperbole est fermée, la droite est fermée, mais leur somme n'est pas fermée.

Pour montrer que la somme d'un compact et d'un fermé est fermée (a fortiori la somme de deux compacts), tu considères une suite dans , et tu montres qu'elle admet une valeur d'adhérence dans .

[invite78bdfa83]

ok merci je vais y réfléchir...
En gros pour montrer que la somme de deux fermés n'est pas nécessairement fermé il faut nécéssairement un fermé non borné..

[God's Breath]

En dimension finie, il faut les deux fermés non bornée : dès qu'un des fermés est borné, il est compact, et sa somme avec le second fermé est compacte, donc fermée.