Opérateurs compacts

[invitec1ddcf27]

Bonjour,

Si E,F sont deux Banach, on dit qu'un opérateur est compact si l'image par A de tout borné de E est relativement compact dans F. Et je voudrais montrer la caractérisation équivalente :
Pour toute suite u_n borné dans E, la suite Au_n admet une sous-suite cvgente dans F.

L'implication directe est évidente. J'imagine que la réciproque aussi mais je n'arrive pas a l'écrire proprement. Si B borné dans E, je veux mq est cpte dans F par un critère séquentiel. Soit donc v_n dans . Si les termes de v_n sont dans A(B), j'ai une suite u_n dans B telle que Au_n = v_n et c'est clair. Mais je fais quoi des éventuels termes v_n sur la frontière de ?

Merci d'avance
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Si appartient à , il est limite d'une suite d'éléments de .
Il te faudra alors trouver une suite d'entiers telle que la suite soit de limite nulle

[invitec1ddcf27]

Bonjour,

C'est ce que j'avais commencé à écrire, mais l'argument me parait bien technique pour un résultat qui semble évident. N'y a t-il pas un moyen plus élégant de conclure ?