Ecriture en base 10

**mehdi_128** · 20/08/2019, 21h15

Bonjour,

Je m’entraîne sur les oraux du CAPES 2019.
Un exercice étant :
Soit $\text{[math]}$ un entier naturel. Démontrer que dans l'écriture en base $\text{[math]}$ les entiers $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ont le même chiffre des unités.

J'ai réfléchis et je pense m'intéresser à la congruence modulo 10 de $\text{[math]}$ car on doit montrer que $\text{[math]}$ divise $\text{[math]}$

On a : $\text{[math]}$

Ça ne me donne rien. On est obligé de faire une récurrence ?

**mehdi_128** · 20/08/2019, 21h43

Je ne vois pas comment faire par congruence...

Je fais la récurrence. Montrons la propriété $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ est divisible par $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ divise $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ est vraie.
Supposons $\text{[math]}$ vraie au rang $\text{[math]}$ .
On a $\text{[math]}$

D'après l'hypothèse de récurrence, il existe un entier $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$

Donc : $\text{[math]}$

Et là je bloque à cause du $\text{[math]}$

**Black Jack 2** · 21/08/2019, 06h52

Bonjour,

Développe (n+1)^5 = n^5 + ... (cela ressemble à ce que tus as fait ... aux erreurs près).

Tu en tireras (n+1)^5 - n^5 = ... qu'il est facile de démontrer que c'est un multiple de 10 (en séparant les cas n pair et n impair) à 1 unité près.

... et puis conclure.

**gg0** · 21/08/2019, 07h33

Autres idées :

* factoriser sérieusement : $\text{[math]}$ ; mais c'est lourd.
* Toujours par les congruences, tester les 10 cas de restes de n modulo 10, à la puissance 5.

Cordialement.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Médiat** · 21/08/2019, 08h33

Bonjour

$\text{[math]}$
or $\text{[math]}$ et comme soit $\text{[math]}$ soit $\text{[math]}$ est pair ...

**Médiat** · 21/08/2019, 08h41

Faute de frappe

$\text{[math]}$
or $\text{[math]}$ et comme soit $\text{[math]}$ soit $\text{[math]}$ est pair ...

**jacknicklaus** · 21/08/2019, 08h55

soit n = 10k + p avec 0 <= p <= 9
p=0 : ca marche
p=1 : ca marche
etc...
p=9 : ca marche

cqfd.

**Médiat** · 21/08/2019, 09h25

pourquoi faire en 10 lignes ce qui peut être fait en 2 ?

**mehdi_128** · 21/08/2019, 10h43

Envoyé par Médiat

Faute de frappe

$\text{[math]}$
or $\text{[math]}$ et comme soit $\text{[math]}$ soit $\text{[math]}$ est pair ...

Ah oui bien vu je n'avais pas pensé à factoriser le $\text{[math]}$ .

**mehdi_128** · 21/08/2019, 10h49

Ce programme est il correct ? Je débute en Python.

Nom : pro.png
Affichages : 243
Taille : 37,5 Ko

**henryallen** · 21/08/2019, 20h38

Bonsoir,

Il me semble qu’importer tout le contenu de math est inutile, puisque vous n’en utilisez rien (la puissance et le modulo sont accessibles en dehors). Sinon il me semble qu’il fonctionne oui.

Merlin95 · 22/08/2019, 18h09

Envoyé par Médiat

Faute de frappe

$\text{[math]}$
or $\text{[math]}$ et comme soit $\text{[math]}$ soit $\text{[math]}$ est pair ...

Bonjour,

$\text{[math]}$ est donc divisible par 10 mais il reste le membre $\text{[math]}$ , non?

**gg0** · 22/08/2019, 18h51

Il était supposé divisible par 10 (récurrence).

Cordialement.

Merlin95 · 22/08/2019, 19h11

oui exact merci.

Ecriture en base 10

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