Fonction bornée

[mehdi_128]

Bonjour,

Soit et

Je n'arrive pas à montrer que est bornée.

Il faut trouver un réel tel que
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[gg0]

Bonjour.

Soit b=max(|a-1|,|a+1|); si t est entre a-1 et a+1, t est entre -b et b, et tu connais l'évolution de t² sur [-b, b].

En dehors du fait qu'il y a un léger problème vers 0, facile à régler, c'est un exercice de la classe de seconde.

Cordialement.

[gg0]

Question : Est-ce le même Mehdi_128 qui disait en juin "J'ai une élève de terminale S en cours particulier,.."
Pour donner des cours à une terminale S, il faut connaître un peu les programmes de seconde, non ?

[mehdi_128]

Mon élève a eu 16/20 au bac de maths. Je ne suis pas tombé sur un cas problématique comme celui-là
Je ne pense pas qu'un élève de seconde puisse résoudre cet exercice

Il est clair que si :

Donc

Mais je n'arrive pas à montrer que

J'ai

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Un dessin avec la courbe de x² sur un intervalle de longueur 2 et de centre a montre ce qui se passe : Le maximum est (a-1)² ou (a+1)² suivant les valeurs de a. Tracer cette courbe est au programme de seconde !!

J'ai essayé de donner une méthode un peu élégante, je vois que tu n'as pas la volonté de chercher par toi-même comment ça se passe. Finalement, tu es un éternel élève qui copie des solutions sans jamais chercher lui-même à trouver seul, même quand c'est élémentaire. Parler de "cas problématique" pour un exercice de fin de seconde ...
Quant à "je n'arrive pas à montrer que " c'est encore une fois ne pas utiliser les hypothèses, ne pas utiliser toute l'hypothèse " b=max(|a-1|,|a+1|)" avec la signification de la valeur absolue (fais un dessin), toujours le programme de seconde.
Disons que c'est à la portée d'un élève de seconde d'il y a 10 ou 20 ans, et à la portée d'un élève actuel de première S qui réfléchit sur ce qu'il fait en classe (donc qui aura facilement 18 à 20 au bac - plein d'autres se contentent de reproduire les exercices et ont alors entre 12 et 16 suivant leur capacité de mémoire).

Désolé de ne pas te satisfaire, mais tu compte trop sur les autres pour tes exercices, et le niveau de ce que tu demandes baisse de plus en plus : Ne pas utiliser son intelligence la fait diminuer. L'habitude de faire seul des exercices permet d'en faire de plus en plus facilement, la faiblesse de demander aux autres fait qu'on arrive de moins en moins à en faire.

[gg0]

Allez, une autre façon de faire, toujours niveau seconde :
La fonction x-->x² est décroissante jusqu'à 0 où elle a un minimum, puis croissante ensuite.
* Si a+1<= 0 elle décroît de (a-1)² à (a+1)², donc est bornée par ces deux valeurs
* si a-1>=0, elle croît de (a-1)² à (a+1)², donc est bornée par ces deux valeurs
* si a-1<0<a+1, elle décroît de (a-1)² à 0, puis croît de 0 à (a+1)², donc est bornée par 0 et la plus grande des deux valeurs (a-1)² et (a+1)².
Dans les trois cas, ce sont les bornes les meilleures.

[mehdi_128]

Sympa et simple votre deuxième méthode accessible à un niveau seconde. Mais je suis intéressé par votre méthode avec le b, elle est élégante

Je viens de chercher 30 minutes j'ai essayé avec un schéma mais je n'ai pas compris l'utilité du dessin ici donc j'ai utilisé les propriétés du maximum que j'ai vu dans mon livre de MPSI et je suis arrivé à la solution suivante :



On a :

Par définition du maximum : donc

Donc :

est bornée sur par , elle est à fortiori bornée sur .

[mehdi_128]

J'ai fait une faute de frappe c'est :

Si alors

Si alors

Dans tous les cas

[gg0]

tu compliques !

Dans tous les cas
Propriété évidente des valeurs absolues, autrefois vue en troisième/seconde,

Sur un dessin, on a un axe, et tous les nombres en cause sont entre -b et b, dans tous les cas de valeur de a. Évidemment, on fait rapidement plusieurs dessins pour les différents cas de signe de a-1 et a+1.
Après, rédiger une preuve efficace est simple.

[mehdi_128]

Vous avez raison, cela provient de la définition de la valeur absolue :

Donc et . On en déduit