Remplir une sphère d'autres sphères plus petites

[invite234d9cdb]

Bonjour !

Je cherche à établir (approximativement) le nombre maximal de proton qui peuvent entrer dans une sphère de 10^-14m de rayon, distance au delà de laquelle les protons ne sont plus soumis à l'interaction forte.
Un proton fait une taille de 10^-15m (1 fermi).

Je ne vois pas comment aborder le problème... Il est évident que je ne peux pas me contenter de divisier le volume d'une sphère de rayon 10^-14 par celui d'un sphère de 10^-15m : il faut absolument tenir compte des espaces entre protons !!!
Par ailleurs le remplissage doit se faire de manière à minimiser ces espaces...

Un vrai problème de matheux si je puis me permettre
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[invite35452583]

Bonjour !

Je cherche à établir (approximativement) le nombre maximal de proton qui peuvent entrer dans une sphère de 10^-14m de rayon, distance au delà de laquelle les protons ne sont plus soumis à l'interaction forte.
Un proton fait une taille de 10^-15m (1 fermi).

Au nivbeau mathématique (sans faire "trop de théorie") :
1) regarder ce que donnent trois sphères qu'on a "collées"
2) ce que donnent 4 sphères "collées"
Puis remplir déjà un disque avec des disques de rayon 1/10 avec un disque au centre (le 1er proton).
Puis regarder "étage par étage" dans la sphère elle-même.
Le résultat sera déjà une bonne approximation.

Sinon, au niveau physique :
1) le résultat sera assez farfelu par rapport aux résultats empiriques qui ne dépassent pas 200 (je crois bien que c'est moins d'ailleurs)
2) les protons en périphérie, eux-mêmes, exercent des interactions fortes

[invite234d9cdb]

J'ai aussi pensé à une autre piste, basée sur mes cours d'empilement atomique de début d'année :
on peut aisément définir des mailles d'empilement dont on connait la proportion de vide et de plein. Il suffirait de ramener ce rapport au niveau de notre grande sphère

[shokin]

Il me semble que, dans l'espace, le meilleur moyen d'empiler le plus de boules dans le moins de volume est de les mettre de façon que 4 boules le plus proche forment un tétraèdre.

Il me semble que la réponse à ta question dépend du rapport entre les deux rayons.

On peut poser aussi la question autrement : avec n boules, quel est le rayon minimal de la sphère dans laquelle elles peuvent être placées ?

Imagine 4 boules collées/tangentes entre elles telles que leurs centres respectifs forment les sommets d'un tétraèdre. Calculer le rayon minimal de la sphère dans laquelle elles s'inscrivent.

Shokin

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea7fcfc37]

Excusez moi petite intrusion qui ne fera pas avancer le problème, je crois me souvenir que la méthode pour empiler des sphères où le gain de place est optimal n'a pas été démontrée .. Comment cela se fait-ce ?

[invite234d9cdb]

Hum j'obtiens un résultat étrange avec un empilement compact...

Dans un empilement compact, la densité est 0,74048.
Le volume de la petite sphère, si on considère qu'elle fait 10^-15m de diamètre (à ce propos j'ai un soucis : on dit que la portée de l'interaction forte est de 10^-15m, donc ça défini une sphère de 2.10^-15m de diamètre ! Hors on peut lire sur la wiki notamment que la taille d'un noyau est bien de l'ordre de 10^-15m et pas 2x10^-15m...)
4/3 x pi x (0,5 x 10^-15)^3 = 5,236x10^-46

Grande sphère : 5,236x10^-43

Espace libre de la grande sphère : 5,236x10^-43 x 0,74048 = 3,877x10^-43

Divisé par le volume d'une petite sphère, on obtient 740,5 !

Un résultat un peu élevé par rapport à ce qui est attendu (environ 100 !)

[shokin]

En tout cas,

Imagine 4 boules collées/tangentes entre elles telles que leurs centres respectifs forment les sommets d'un tétraèdre. Calculer le rayon minimal de la sphère dans laquelle elles s'inscrivent.

Si le rayon des petites sphères, disposées en "tétraèdre" égale 1, j'ai trouvé le rayon de la plus petite sphère les englobant égale à [racine(6)+2]/2 = z, ce qui me semble correct.

Donc une sphère de rayon R peut englober 4 sphères de rayon r=R/z.

Dans le 4 sphères, je ne peux rajouter de petite sphère sans augmenter le rayon minimal de la grande sphère. Cependant, le même raisonnement valable pour tout plus grand nombre "tétraédrique" (par analogie aux nombres triangulaires). Imaginez un "tétraèdre" de boules dont le "sommet" mesure 10 boules. Vous pouvez rajouter des boules (combien, je n'ai pas encore calculé) sur chacune des faces du "tétraèdre" sans augmenter le rayon minimal de la grande boule englobant les petites boules.

... (je dois y aller)

Shokin

[invite234d9cdb]

http://fr.wikipedia.org/wiki/Empilement_compact

Toujours est-t-il que le résultat de mon calcul dépend fortement des valeurs utilisées : si la portée de l'interaction forte est de 10^-14m et que la taille d'un proton en rayon est de 0,8x10^-15m

Alors on trouve : 1446,25 selon un empilement compact.

Dans tous les cas, les valeurs obtenues sont surélevées. L'approche est sans doute mauvaise ?

[invite234d9cdb]

Les valeurs suivantes apparaissent fiable (vérification wiki et livres de référence) :

Un proton à un rayon de l'ordre du fermi
L'empilement compact, c'est une densité de 0,74
La taille d'un gros noyau atomique stable tourne autour de 10^-14m, ce que l'on considère par extension comme la portée de l'interaction forte.

On obtient donc dans les environs de 1000 protons. 10 fois la valeur attendue...

Possibilité : l'empilement n'est peut-être pas compact...
Autre possibilité : tenter ce que je fais est du délire pur

[inviteccb09896]

Bonsoir

Vous ne pouvez aborder les particules du noyau comme des sphères avec une dimension finie. Les dimensions dont vous parlez sont les sections efficaces des particules et non leur rayon car elles n'en ont pas.

Il faut faire appel au formalisme quantique pour réponde à cette question. Une approche classique qui consiste à considérer les protons ou neutrons du noyau comme des sphères est connu comme faux depuis bientôt 80 ans en physique des particules...

[invite234d9cdb]

Je me disais bien qu'il devait y avoir une erreur fondamentale dans mon raisonnement

Merci bcp

[shokin]

Merci pour le lien sur l'empilement...

Bon... si on ne peut considérer les atomes comme des sphères, pas besoin de continuer dans ces calculs que j'ai commencés.

Shokin

[invite234d9cdb]

Mais l'idée de base était amusante je trouve ! Classiquement on peut mettre 1400 nucléons dans le noyau

Donc moi, futur grand chimiste, j'ai l'honneur de vous annoncer qu'il reste plus de 1300 élements non découverts à ce jour !