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Réflexion sur infini = -1/12



  1. #1
    Splinter77

    Question Réflexion sur infini = -1/12


    ------

    Bonjour à tous

    Cette discussion va être très courte, je ne suis pas un boss en maths mais j'ai du mal à accepter l'absurdité en mathématique (c'est quand même l'exact opposé de ce à quoi les maths sont censées aboutir), alors j'aimerais simplement que vous m'aidiez à comprendre les 2 premières lignes de calculs du calcul de A=1+2+3+4+...=-1/12 (hypothèse de Riemann) et surtout de m'expliquer comment ces opérations ici peuvent être considérées comme "légales" (par légalité j'entends la même chose que de dire : diviser par zéro est illégal).

    Donc ça va être rapide je reprends juste le début du calcul :

    A=+1-1+1-1+... (à l'infini)

    Jusque là, admettons le concept de l'infini, mais permettez moi seulement une remarque : si j'ajoute (+1-1) ou (-1+1) à A, je suis d'accord que A reste A et que A vaut toujours 0. Par contre pour moi, ajouter seulement +1 ou seulement -1 à A est différent et que cela donne A-1 ou A+1 et non A, en tout cas pas si l'on ne s'arrête pas exactement après un -1. Et c'est à ce moment que vous n'êtes plus d'accord n'est-ce pas ?

    Pour moi l'infini dans cette équation (A=+1-1...) n'est pas une soupe dans laquelle on peut rajouter des -1 ou +1 sous prétexte qu'ils y sont déjà "présents après" parce que l'infini. Ils y sont présent après oui mais pas au même instant (il n'y a pas de ±1, on fait +1 puis -1, mais pas les 2 au même instant), imaginons que l'on s'arrête n'importe où dans la succession infinie de +1-1 on aura soit +1 soit -1, parce qu'ici ça n'est pas des +1 et des -1 à l'infini, mais des (+1-1) à l'infini, ce que je veux dire c'est qu'on considère (+1-1) comme le motif de répétition, pas soit +1 soit -1. Donc on a une chance sur deux de tomber juste après le -1, mais on a pas le droit de parler de chance, alors pourquoi est-ce légal de faire ça ?

    2ème ligne du calcul de l'hypothèse:

    A = +1–1+1–1+ … = +1 –(1–1+1–1+…)

    Ce qui me pose problème ici, c'est que lorsqu'on veut ajouter un terme, après avoir "arrêté" temporairement la succession des chiffres on ne se pose pas la question du dernier chiffre où l'on s'est "arrêté", sous prétexte qu'on s'en fiche car c'est l'infini, mais comment réfléchir à l'infini si on ne dit pas : "Je m'arrête n'importe où dans cette succession mais je m'y arrête pour ajouter mon terme (-1).". Si vous ne vous le dîtes pas cela signifie que vous êtes capable de penser l'infini dans sa globalité en une fois ? Apprenez-moi à le faire cela me donnera surement un coup de pouce en math

    Pour finir vite, je veux bien qu'on insère l'infini dans une équation mathématique, mais pas n'importe comment. J'ai l'impression de ne pas avoir la même interprétation du concept de l'infini, alors qu'elle devrait être universelle et sans ambiguïté pour pouvoir l'utiliser en maths. Pour moi dans l'équation x=1+1+1...=∞ par exemple, faire ∞+1 = ∞ n'est pas faux mais ne veut pas dire qu'on ajoute 1 à ∞ mais plutôt qu'on "repère" le +1 comme faisant déjà partie de l'infini et qu'à n'importe quel instant où l'on se placerait dans cette succession de chiffres on aurait le droit de le faire puisque le +1 est présent à chaque instant (+1+1+1+........+1+1+1.......+1+1+1+1...), je me le représente plus comme une "identification" qu'une addition, c'est à dire comme une chose qui existe déjà plutôt qu'une chose nouvelle qu'on vient ajouter. On ajoute rien à l'infini, l'infini est déjà sans fin on ne peut qu'identifier ce qu'il y a déjà à l'intérieur non ? Pour moi il y a confusion de langage dans l'utilisation de l'infini dans cette ligne de calcul.
    Dans cette 2ème ligne de calcul on n'ajoute non pas des +1 en boucle mais des 1 avec changement de signe une fois sur deux, c'est très différent, on ne peut alors pas dire : "j'identifie cette partie comme faisant parti de cet infini" car on ne peut pas identifier des -1 ou des +1 seuls mais seulement des +1-1 ensemble. Or c'est ce qu'on fait dans cette ligne, on dit : "à partir du 1er terme (ici +1) j'identifie la succession de chiffres comme étant le même infini que celui dans lequel je me trouve.", autrement dit "peu importe où je tombe je pose mon +1 là, que ça soit après un -1 ou après un +1", ça ne fonctionne pas, les infini de chaque côté du égal ne se "valent" pas, ils ne sont pas les mêmes, le terme entre parenthèses de gauche est plus petit que le terme entre parenthèses de droite car le -1 est pris seul (il aurait fallu prendre un +1-1 et cela aurait donné juste A=+1-1+(1-1+...)=A.

    On fait la même chose dans la suite du calcul, ce qui nous amène à -1/12 ? Mais je ne comprends pas pourquoi on considère ce qui est fait comme mathématiquement légal ?

    J'espère avoir été le plus clair possible et j'aimerais que vous m'expliquiez clairement ce qui est faux dans mon raisonnement.
    (Je n'affirme rien, tout ce texte n'est qu'une question et seulement une question)

    -----
    Dernière modification par Splinter77 ; 09/09/2019 à 01h24.

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  3. #2
    Tryss2

    Re : Réflexion sur infini = -1/12

    Tu as raison : ça n'est pas "légal", pour reprendre ton terme (plutôt adapté d'ailleurs).

    On sait définir sans ambiguïté une somme finie de nombres. Donc si on a une suite , on peut définir , la somme des premiers termes de la suite

    Mais comment faire si on veut définir la somme de tout les termes de la suite ? Une solution raisonnable (et c'est celle utilisée en général), c'est de poser que la somme de tout les termes c'est la limite des sommes partielles : , dans les cas ou ceci a un sens.

    Si on reprends tes exemples, A est la somme des termes de la suite , Les sommes partielles si N est pair, 0 sinon. Donc pas de limite (ni finie ni infinie): A n'a pas de sens selon cette définition !

    De la même façon, sommer par paquet des suites ou changer l'ordre dans lequel on somme les termes va donner des résultats différents pour tout une catégorie de suites. A ce sujet, le théorème de Réarrangement de Riemann est d'ailleurs assez frappant.


    Quant à "l'égalité" 1-1+1-1 +... = 1/2 ou 1+2+3+4+... = -1/12, on peut définir des méthodes de sommation qui donnent bien ces résultats, mais ça n'est pas la somme au sens usuel , et tout ceux qui n'insistent pas là dessus essayent d'enfumer leur public. En particulier, ces sommes n'ont pas toutes les propriétés des sommes usuelles (même si elles sont suffisamment proches pour mériter le nom de somme )

    Exemples : Sommation de Cesàro, sommation de Borel, sommation de Ramanujan


    Quant à l'infini en mathématique, le mot recouvre en fait bon nombre de concepts différents. Sans préciser le contexte exact "l'infini" n'est pas un concept mathématique bien défini.

    Par exemple, quand on écrit, , n'est pas un objet mathématique indépendant, il n'a de sens que comme partie de la notation, qui est juste une façon commode d'écrire que, quelque soit le nombre M que l'on choisi, à partir d'un certain rang tout les termes de la suite sont plus grand que M. Le symbole ne représente donc pas ici un objet que l'on peut manipuler. Les infini de ce type sont rangés dans la catégorie "infini potentiel"

    Mais dans d'autres contextes, l'infini est un objet manipulable : par exemple, le cardinal des entiers naturels . Les infini de ce type sont rangés dans la catégorie "infini actuel"

  4. #3
    pm42

    Re : Réflexion sur infini = -1/12

    Une solution simple serait de lire les nombreux fils sur le sujet...
    Cela éviterait de refaire des pages de "un jour sans fin" mais sans le charme d'Andie MacDowell

    https://forums.futura-sciences.com/s...mpossible.html
    https://forums.futura-sciences.com/m...1-1-1-1-a.html
    https://forums.futura-sciences.com/m...-negative.html

    Et il y en a plein d'autres. Je pense que quelqu'un essaie de faire converger la somme du nombre de messages vers -1/12.

  5. #4
    Médiat

    Re : Réflexion sur infini = -1/12

    Citation Envoyé par pm42 Voir le message
    "un jour sans fin" mais sans le charme d'Andie MacDowell
    Et sans l'ironie jubilatoire de Bill Murray

    Ceci dit le résumé de Tryss2 est parfait !
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  6. #5
    pm42

    Re : Réflexion sur infini = -1/12

    Oui respect pour la patience et la pédagogie de Tryss2.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Tryss2

    Re : Réflexion sur infini = -1/12

    Faut bien s'occuper durant les insomnies

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  10. #7
    Splinter77

    Re : Réflexion sur infini = -1/12

    D'abord merci pour ton explication détaillée Tryss.

    Les sommes partielles An=1 si N est pair, 0 sinon.
    tu veux dire "-1 sinon." non ?

    Tu as raison : ça n'est pas "légal"
    Ce qui est illégal veux tout simplement dire que c'est faux en maths. Donc la démonstration que j'ai trouvée et qu'on trouve sur de nombreux site est fausse ?

    Quant à "l'égalité" 1-1+1-1 +... = 1/2 ou 1+2+3+4+... = -1/12, on peut définir des méthodes de sommation qui donnent bien ces résultats
    Donc il y a des méthodes qui démontrent que cette égalité est vraie mais pas celle dont tout le monde parle comme par exemple sur ce site : https://sciencetonnante.wordpress.co...7/1234567-112/ ?

  11. #8
    Médiat

    Re : Réflexion sur infini = -1/12

    Cet article illustre parfaitement ce qu'il ne faut pas faire : une véritable honte !

    Relire la réponse de Tryss 2
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  12. #9
    Tryss2

    Re : Réflexion sur infini = -1/12

    Citation Envoyé par Splinter77 Voir le message
    tu veux dire "-1 sinon." non ?
    Non, c'est bien "0 sinon" (j'ai fait commencer la suite à n=0) :
    A_0 = 1 = 1
    A_1 = 1-1 = 0
    A_2 = 1-1+1 = 1
    A_3 = 1-1+1-1 = 0
    etc.

    Ce qui est illégal veux tout simplement dire que c'est faux en maths. Donc la démonstration que j'ai trouvée et qu'on trouve sur de nombreux site est fausse ?
    Oui, ce sont des démonstations fausses.

    Donc il y a des méthodes qui démontrent que cette égalité est vraie mais pas celle dont tout le monde parle comme par exemple sur ce site : https://sciencetonnante.wordpress.co...7/1234567-112/ ?
    Non, pas exactement. La différence, c'est dans la définition de " 1+2+3+... ". Quel est le sens rigoureux de cette suite de symboles ? Selon la définition exacte que tu va lui donner, ça sera des objets différents.

  13. #10
    Splinter77

    Re : Réflexion sur infini = -1/12

    Non, c'est bien "0
    Ah oui c'est bien ça pardon.

    Selon la définition exacte que tu va lui donner, ça sera des objets différents.
    Pour moi "1+2+3+..." c'est dans les entiers naturels, et ça va jusqu'à l'infini des entiers naturels, quel autre objet ça peut être ?

  14. #11
    Médiat

    Re : Réflexion sur infini = -1/12

    Citation Envoyé par Splinter77 Voir le message
    Pour moi "1+2+3+..." c'est dans les entiers naturels, et ça va jusqu'à l'infini des entiers naturels, quel autre objet ça peut être ?
    Justement, dit comme cela ça n'a pas de sens (cf Tryss2) les sommes infinies sur IN ne sont pas définies !!!
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  15. #12
    Splinter77

    Re : Réflexion sur infini = -1/12

    les sommes infinies sur IN ne sont pas définies
    Comment ça ? Ca ne fonctionne que dans les réels ?

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  17. #13
    Médiat

    Re : Réflexion sur infini = -1/12

    Citation Envoyé par Splinter77 Voir le message
    Comment ça ? Ca ne fonctionne que dans les réels ?
    Cela ne fonctionne pas non plus pour les réels !

    Avez-vous lu le message de Tryss2, et / ou les liens fournis par pm42 ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  18. #14
    Splinter77

    Re : Réflexion sur infini = -1/12

    Donc c'est juste un canular ?

  19. #15
    gg0

    Re : Réflexion sur infini = -1/12

    Non,

    il existe une façon de faire certains calculs qui, interprétés en termes élémentaires donne ça. Mais ce n'est pas vraiment un prolongement de la somme finie. C'est un prolongement d'une série (somme infinie) parfaitement définie, qui, réinterprété là où ce ne devrait pas l'être, donne ça.
    C'est une sorte de "jeu de nombres", comme il y a des jeux de mots. Malheureusement, certains vulgarisateurs (parfois mathématiciens) présentent ça comme si c'était solide (ce qui est solide, c'est l'usage qui est fait par les mathématiciens, et ça ils sont bien incapables de le vulgariser).
    Il y a pourtant déjà bien d'autres choses sérieuses, utiles et surprenantes en maths.

    Cordialement.

  20. #16
    Splinter77

    Re : Réflexion sur infini = -1/12

    Il est faux le calcul oui ou non ?

    Je parle du calcul que j'ai présenté, pas d'un autre, je parle du calcul qui est au début de ce site : https://sciencetonnante.wordpress.co...7/1234567-112/ exactement tel qu'il est présenté du début jusqu'à la ligne S=-1/12.

    C'est oui ou c'est non ?

    (merci pour ta réponse gg0)

  21. #17
    Médiat

    Re : Réflexion sur infini = -1/12

    Combien de fois faut-il vous dire de lire la première réponse de Tryss2 ?

    Vous devez vous convaincre que l'addition (au sens usuel), ou la multiplication (au sens usuel) n'existe qu'avec 2 opérandes, au sens strict 1+2+3 n'est pas défini, ce qui l'est c'est (1+2)+3 ou 1+(2+3), comme ces deux choses là sont égales, on se permet un abus d'écriture qui ne présente aucune toxicité : 1+2+3, une somme ou un produit infini n'existe pas dans les ensembles usuels IN et IR par exemple
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  22. #18
    Splinter77

    Re : Réflexion sur infini = -1/12

    Combien de fois faut-il vous dire de lire la première réponse de Tryss2 ?
    C'est pas le nombre de fois qu'il faut me le dire qui compte, c'est la manière de le dire. Je ne suis pas autant à l'aise avec le langage mathématique que vous Médiat apparemment, quand vous employez un mot mathématique je n'arrive pas à savoir le vrai sens derrière ce mot car je n'ai pas autant l'habitude (voire aucune) de parler de maths que vous. Et au lieu de vous arrêter à un "C'est donc faux." vous enchaînez en me parlant d'autres méthodes, d'autres calculs que celui dont je parle à la base, ce qui fait que je ne sais plus où se trouve la réponse à ma question initiale dans toutes vos digressions. Alors désolé !

    Merci beaucoup gg0 et Tryss2.

    Médiat vous pouvez supprimer complètement cette discussion, elle n'a aucun intérêt et je ne trouve pas le moyen de le faire moi-même.

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  24. #19
    Deedee81

    Re : Réflexion sur infini = -1/12

    Salut,

    Rappelons aussi, c'est utile à savoir, que ce genre de manipulation "illégale" des séries a une origine historique, datant d'une époque où la rigueur n'était pas la norme. Et c'est à cause des anomalies rencontrées que justement la recherche la rigueur est arrivée.

    Citation Envoyé par Splinter77 Voir le message
    Médiat vous pouvez supprimer complètement cette discussion, elle n'a aucun intérêt et je ne trouve pas le moyen de le faire moi-même.
    Pourquoi ne pas la laisser, ça peut intéresser d'autres lecteurs.
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)

  25. #20
    Seirios

    Re : Réflexion sur infini = -1/12

    Ce qu'il y a, c'est que le blogeur / youtubeur Sciencetonnante mentionné par Splinter77 a une formation de physicien. Il y a également une vidéo sur la chaîne youtube Numberphile autour des séries divergentes, vidéo réalisée en interrogeant des physiciens. C'est un peu caricatural, mais pour des questions de rigueur mathématique, mieux vaut demander à un mathématicien. Pour rester dans les ressources disponibles en ligne, il y a deux vidéos disponibles sur la chaîne Mathologer (que j'aime beaucoup) :
    Ramanujan: Making sense of 1+2+3+... = -1/12 and Co.
    Numberphile v. Math: the truth about 1+2+3+...=-1/12
    Par contre, c'est en anglais.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  26. #21
    Deedee81

    Re : Réflexion sur infini = -1/12

    Citation Envoyé par Seirios Voir le message
    une formation de physicien
    Et d'une manière plus générale, on sait que la vulgarisation peut parfois poser problème car trop "grand public", trop simplifiée, trop courte, trop approximative (avec même ce qu'on pourrait qualifier d'erreurs). Et en math ça ne pardonne pas.

    Un brin de méfiance est toujours de bon aloi.
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)

  27. #22
    Superbenji

    Re : Réflexion sur infini = -1/12

    Bonjour,
    Ce qu'il faut comprendre et ce que disait Médiat au message #17, c'est que la somme "a+b+c+d" par exemple avec des entiers a b c d, n'est rien d'autre qu'un raccourci d'écriture, par soucis de commodité et de lisibilité.
    En réalité, il faut voir l'addition comme une fonction: add(x,y). Tu lui donnes deux arguments x et y, et te retourne leur somme. Ainsi "a+b+c+d" correspond à l'expression: add(a, add(b, add(c, d))). Pour calculer cette somme, tu commence par évaluer add(c,d) qui te retourne alors le deuxième argument de add(b, . ) te permettant de l'évaluer à son tour et ainsi de suite tu remonte toute la chaine jusqu'au résultat final.

    Maintenant considère la somme infinie "a+b+c+d+...". Écrit sous cette forme on pourrais c'est vrai avoir l'impression (trompeuse) que ça a un sens. Mais non, essaye de visualiser ce que ça donne représenté en terme de fonctions.
    Tu obtiens add(a, add(b, add(c, add(d, ... )))) avec une chaine infinie descendante de fonctions emboitées. Comment calculer cette expression ? Il n'y a aucune première fonction add(x,y) à évaluer puisque chacune d'elle a pour l'un de ses arguments un appel a une autre fonction. C'est simplement pour ça qu'une somme infinie n'a pas de sens.

    C'est la même chose pour la multiplication et la même chose dans les réels. C'est cela l'addition et la multiplication usuelle. Après, en mathématique, on peut toujours s'amuser à donner des définitions pour étendre quelque chose, comme ici par exemple donner une valeur à "1+2+3+4+...", à la condition (nécessaire) que ce que l'on définit sois cohérent, et la condition (optionnelle mais souhaitable) que ça soit utile ou intéressant. Mais dans ce cas, ce n'est plus l'addition usuelle, puisque on définit tout simplement autre chose.

    Voilà, une explication un peu informelle et en passant quelque détails, espérant éclairer un peu. ^^

  28. #23
    Deedee81

    Re : Réflexion sur infini = -1/12

    Salut,

    Précisons (pour compléter le message précédent) qu'on peut définir les séries comme des limites (comme le dit Superbenji, le "++++" est un raccourcit d'écriture). Mais là on peut avoir des séries divergentes ou convergentes. Et il y a un théorème qui dit que la limite ne dépend pas de l'ordre uniquement si c'est convergent (si quelqu'un se souvient du nom ou peut donner une explication plus précise, c'est bienvenu ). Les sommes de naturels étant toujours divergentes et l'addition étant commutative, la notation +++++... est forcément trompeuse voire fausse, on peut lui faire dire à peu près n'importe quoi (et avec l'infini, ça va vite, vaut mieux être prudent et donc rigoureux).
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)

  29. #24
    albanxiii

    Re : Réflexion sur infini = -1/12

    Citation Envoyé par Splinter77 Voir le message
    C'est pas le nombre de fois qu'il faut me le dire qui compte, c'est la manière de le dire.
    Ce que dit Médiat choque votre intuition et va peut-être à l'encontre de votre bon sens, mais ça n'est pas pour autant qu'il faut vous énerver. Il faut abandonner votre façon actuelle de penser si vous voulez comprendre des arguments mathématiques. Dans le cas contraire, ne posez pas de question, puisque les réponses correctes ne sont satisfont pas.


    ps : on ne peut pas effacer de discussion une fois que des personnes y ont répondu, c'est une des règles de ce forum.
    Not only is it not right, it's not even wrong!

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  31. #25
    Médiat

    Re : Réflexion sur infini = -1/12

    Bonjour,

    Citation Envoyé par Superbenji Voir le message
    Tu obtiens add(a, add(b, add(c, add(d, ... )))) avec une chaine infinie descendante de fonctions emboitées. Comment calculer cette expression ? Il n'y a aucune première fonction add(x,y) à évaluer puisque chacune d'elle a pour l'un de ses arguments un appel a une autre fonction. C'est simplement pour ça qu'une somme infinie n'a pas de sens.
    Très bonne remarque, très pédagogique (mieux que de se contenter du problème du parenthésage), il suffit de se demander comment un informaticien coderait cela ...
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  32. #26
    Tryss2

    Re : Réflexion sur infini = -1/12

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    Et il y a un théorème qui dit que la limite ne dépend pas de l'ordre uniquement si c'est convergent (si quelqu'un se souvient du nom ou peut donner une explication plus précise, c'est bienvenu ).
    La limite ne dépend pas de l'ordre si et seulement la série est absolument convergente.

    La série est dite absolument convergente si est convergente.

    Exemple de série qui est convergente, mais pas absolument convergente :

  33. #27
    Merlin95

    Re : Réflexion sur infini = -1/12

    juste pour savoir que vaut la limite de cette suite ?

  34. #28
    Deedee81

    Re : Réflexion sur infini = -1/12

    Je sentais bien que je laissais échapper quelque chose, le "absolument" convergent. Pffffff
    Merci Tryss
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)

  35. #29
    Tryss2

    Re : Réflexion sur infini = -1/12

    Citation Envoyé par Merlin95 Voir le message
    juste pour savoir que vaut la limite de cette suite ?
    Si ta question est bien à propos de mon exemple :

    est convergente (série alternée). De plus,



    Et le théorème d'Abel nous permet alors de conclure que :




    Bon, ça sort un peu du cadre "mathématiques collège-lycée"...
    Dernière modification par Tryss2 ; 10/09/2019 à 13h12.

  36. #30
    Merlin95

    Re : Réflexion sur infini = -1/12

    joli, ok non c'était juste pour savoir.

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