Cercle de rayon donné tangeant à 2 droites

[Rocky75]

Bonjour,
Je découvre ce forum et j'ai un peu peur de poser une question fort simple par rapport au niveau général, mais je me lance:
J'ai 3 points A, B, C dont je connais les coordonnées. J'ai un rayon r. Je cherche à déterminer le cercle (de rayon r) qui est tangeant aux droites AB et BC qui, bien sur, se coupent en B.
Idéalement, j'aimerais connaitre les coordonnées du centre du cercle, ainsi que les coordonnées des 2 points d'intersection avec les 2 droites.
J'ai beau chercher, j'ai du mal (je n'ai jamais été très fort en géométrie...)

Merci de votre aide.
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[Jeanpaul]

DE manière générale, si un cercle de rayon r est tangent à une droite D, le centre se trouve forcément sur une droite parallèle à D et à la distance r (il y en a 2).
Pour 2 droites, c'est donc une des 4 intersections de 2x2 droites.

[invite393d3b80]

Slt,
Pr ton probleme tu sais que ton centre sera sur la bissectrice de l angle en B.
Ensuite, parcours ta bissectrice en partant de B, projette orthogonalement soit sur Ab soit sur BC le point en deplacement Z(centre virtuel). Tu auras ton centre quand la distance r' de Z à H(projection orthogonale de Z sur l une des 2 droites) sera égale a r (utilise r' = d*sin(x°)).
Une fois Z determine il n y a plus trop de pb pr determiner les points tangents sur AB et BC, tu connais d (distance de B a Z), r distance de Z à H et l angle ABZ

Le tout est de reussir a exprimer ton pt Z en fonction de ses coordonnees.
tu n aurais pas un exemple de pt A,B et C et de rayon r?
Faut il que tu automatise les calculs en fonctions des pts ABC et et de r?
en esperant t avoir renseigné
bon courage

[Rocky75]

Merci pour votre aide. Effectivement, je n'avais pas réalisé que le centre était sur la bissectrice de l'angle en B, ça m'aide.
En revanche, comme il s'agit d'une application informatique, je préfèrerais éviter de "parcourir" la bissectrice jusqu'à trouver le point centre du cercle, car c'est consommateur de temps. Je préfèrerais établir la formule qui me donne directement les coordonnées du centre du cercle, mais ce n'est pas facile...
Pour aider la compréhension, j'ai ajouté un schéma qui illustre le problème, avec des valeurs numériques de coordonnées.

Merci encore !!

PS. Si ça vous intéresse, je pourrais préciser dans quel contexte j'ai besoin de résoudre ce problème.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite393d3b80]

Personnellement je veu bien savoir dans quel contexte tu as besoin de ces calculs, si c'est possible.

PS: Je ne parviens pas a acceder au fichier joint

[Rocky75]

je suis surpris, car moi je le lis sans problème. Si tu me donnes ton adresse mail, ou si tu me contactes ### Pas d'adresse perso. BenJ., je pourrais t'envoyer le fichier image attaché.

Quelques mots sur le contexte:
C'est pour un projet de simulation de vol. Le plan de vol de l'avion est constitué de points successifs (mes points A, B, C...) et r est le rayon de virage de l'avion. Je cherche à trouver les points M et N d'intersection entre la route de l'avion et son rayon de virage pour déterminer quand l'avion doit commencer à tourner pour anticiper son virage. En fait, si la route passe par le point B, l'avion ne survole jamais ce point...
J'espère que je suis clair

[invite393d3b80]

Tres bien, je viens de voir le fichier
Interessant le calcul pour une simulation.
Si tu as de nouvelles questions.. fais signe.
A+

[mécano41]

Bonjour,

Il faut calculer l'angle formé par les deux droites AB et CB (voir croquis). Je ne mets pas le détail. Tu calcules d'abord :




puis :



Tu sors l'angle ABO (voir note plus loin) puis ABO/2

Ensuite tu calcules :



et la pente de la droite AB :



Ensuite dans le triangle BMN :



Tu peux donc trouver BM et MN

Pour les points de tangence, tu connais l'angle PNQ et PN, tu peux calculer PH et HN.

NOTE : Attention, pour le traitement informatique, il faut lever le doute (en fonction des signes) sur l'arc trouvé avec ASIN ou ACOS pour choisir le bon arc. A cet effet, je te donne la formule du cosinus à utiliser si besoin est :



Bon courage

[invitebf65f07b]

salut,

j'ai une solution qui devrait parfaitement convenir pour un programme, c'est pas super élégant ni immédiat, mais c'est uniquement à base de vecteurs et de produit scalaire, donc facile à programmer.

avant tout, tu calcules u et v (je note en gras les vecteurs) qui sont les vecteurs renormalisés de BA et BC. en pratique, ça donne :
x_u = (x_A-x_B)/||BA||
y_u = (y_A-y_B)/||BA||
et
x_v = (x_C-x_B)/||BC||
y_v = (y_C-y_B)/||BC||

dans un premier temps, la bissectrice (sur laquelle ce trouve C) : elle passe par B et est guidée par u+v . donc tu sais que BC = k*(u+v) (il s'agit donc de trouver k...).

ensuite, si tu notes v' le vecteur normal à v normé et "dans le bon sens" (il y en a deux, et j'imagine que ton avion fait le trajet A->B->C). en pratique, ça donne :
x_v' = y_v * a
y_v' = -x_v * a
où a=+/- 1. le rôle de a est ici de faire en sorte que v'.u>0. (produit scalaire)

maintenant, on sait que BC.v'=r, c'est à dire
k*(u+v).v'=r , d'où
k*u.v'=r et donc au final :
k=a*r/(x_u*y_v-x_v*y_u)

et pour finir :
x_C = x_B + k*(x_u+x_v)
y_C = y_B + k*(y_u+y_v)

voilà, je crois que ça se programme sans problème...

[invitebf65f07b]

bon ben avec la solution de mécano41, ça laisse le choix....
juste une remarque, dans l'absolu, il y a 4 angles formés par l'intersection des 2 droites, il faut donc choisir le bon.
si comme je l'ai compris, il s'agit de faire le trajet A->B->C, alors normalement, ma démarche(qui est assez clair j'espère) donne directement le résultat voulu sans plus de question.

[invitebf65f07b]

arf, je viens de voir que j'avais appelé C le centre du cercle alors forcément, y a de gros risque de confusion...
je vous laisse corriger.

[invitebf65f07b]

j'allais oublier les points de tangence, qui viennent facilement une fois les premiers calculs faits : BT_a=k*u et BT_c=k*v.

donc :
x_Ta = x_B + k*x_u
y_Ta = y_B + k*y_u
et
x_Tb = x_B + k*x_v
y_Tb = y_B + k*y_v

voili voilou...

[Rocky75]

Merci de votre aide !!
J'ai programmé le bousin, et ça marche impec pour le calcul du centre du cercle, par contre ça marche mal pour les points de tangence.
Sur l'image, on voit en bleu les segments AB et BC, en rouge le cercle (parfaitement tangent aux 2 droites), et en vert la ligne joignant les points de tangence calculés. Là, on voit que ça ne va pas...

[invitebf65f07b]

arf, pour le coup, c'est moi qui est dit n'importe quoi, je vais revoir ma copie...

[invitebf65f07b]

en fait, il faut prendre:
x_Ta = x_B + k*(1+u.v)*x_u
y_Ta = y_B + k*(1+u.v)*y_u
et
x_Tb = x_B + k*(1+u.v)*x_v
y_Tb = y_B + k*(1+u.v)*y_v

car BT_A=(BR.u)*u et BT_B=(BR.v)*v (avec R le centre du cercle)

mais tu aurais pu corriger tout seul

[Rocky75]

Ca y est, ça marche !!
J'ai calculé les points de tangence en utilisant les angles, sachant qu'une tangente est perpendiculaire au rayon du cercle. Ca marche impeccable, quelque soit l'angle. Quelques exemples sont attachés ici.
Je vais intégrer tout ça dans l'ordinateur de vol de l'avion, et je vous enverrai des images dès que possible.

Merci encore à tous pour votre aide