Coordonées Points sur cercle et droites tgt

[invite009d69d2]

Bonjours

Je suis nouveau sur ce forum. Je me suis inscrit après avoir lus pas mal de post et trouver beaucoup de messages très intéressant.

Voila mon problème

Je suis entrain de programmer un logiciel qui me permettra de couper une forme géométrie filaire en un certain nombre de segments. Quand il s'agit de droite je m'en sort avec pythagore. Le problème se corse quand mes lignes ou droites sont unies par des rayons.

Dans un premier temps j'aimerais que l'on m'oriente sur la recherche des coordonnées des deux points d'intersections (A et B) entre le rayon d'union avec les deux droites tangente (Voir schéma).

par avance merci

Remiguel


-----

[invitea3e14106]

Pour trouver les points A et B il te faut résoudre
les systèmes composés des équations du cercle
et des droites tangentes.

Rien de plus.

[invite009d69d2]

Merci de ta réponse.
Je dois donc faire une combinaison entre les équation de droite et de cercle ? Comment peut on faire cela ? Où puis je trouver un exemple. cela m'aiderai à me rafraîchir la mémoire.

Merci

Remiguel

[invite009d69d2]

Voila ce que j'ai trouvé

Equation du cercle
(x-a)²+(y-b)² = r²
a et b sont les coordonnés du centre et x et y les coordonnés du point sur le cercle

Equation de droite
y = cx + d
x,y,c et d les coordonnés de deux point de la droite

Donc je dois combiner les équations respectives de mes 2 droites à celle du cercle. C'est bien ça ?
Je vais faire un essai

A+


Remiguel

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

Salut,

tu travailles dans le plan ou dans l'espace? Si tu travailles en 3d, il te faut deux équations pour définir une droite.

Sinon, je ne sais pas si tu as remarqué que tu as un contact d'ordre deux en A et B: les droites sont tangentes au cercle que tu appelle "rayon". Du coup si tu connais le centre de ce cercle, tu peux aussi utiliser l'orthogonalité des tangentes aux diamètres (ce qui a l'avantage de rester linéaire).

A+

[martini_bird]

Une autre petite remarque: il est souvent plus pratique d'écrire dans le plan les équations de droites sous la forme ax+by=c, ce qui t'évite des cas pathologiques (droites verticales).

[invite009d69d2]

martini_bird, je suis effectivement en 3D donc les équations de droites seront de 2, par droite. Le cercle ou rayon est dans le plan formé par les 3 points définissant les 2 droites. Un des points est assumé etre le point d'intersection des deux droites. Je cherche les coordonnés des point A et B pour trouver le centre du cercle, donc a priori le centre du cercle n'est pas connu.

l'équation d'une droite en 3D n'est pas
ax + by + cz = 1 ?

[martini_bird]

L'équation d'un plan affine de l'espace est ax+by+cz=d. Si il ne contient pas l'origine tu peux te ramener à ax+by+cz=1, mais c'est un cas particulier.

Le mieux, je pense, est de te placer dans le plan défini par tes deux droites et de raisonner ensuite en 2d. Pour obtenir le centre du cercle il suffit de tracer les droites perpendiculaires aux droites données passant respectivement par A et B: l'intersection te donne le centre.

Cordialement.

[invite009d69d2]

Tu me rassure, donc ma première question allait bien dans le bon sens. Comment trouver les coordonnés de A et B. Suivant ITISAR je dois combiner les équations de mes deux droites à celle de mon cercle.
J'ai trouvé que l'équation d'une droite 3D passant par A et B est
x+xa/xb-xa = y+ya/yb-ya = z+za/zb-za

Les coord de A
xa
ya
za

Les coord de B
xb
yb
zb

Celles du cercle 3D
(xa-a)²+(ya-b)²+(za-c)² = r²
(xb-a)²+(yb-b)²+(zb-c)² = r²

Centre du cercle
a
b
c

Rayon r

maintenant il ne me reste plus qu'a combiner tout ça.

[invite009d69d2]

J'ai beau combiner mes équations dans tout les sens, je n'arrive à pas grand chose.

Je suis arrivé à cela

Première droite défini par deux point 1 et 2

xa+x1/x2-x1 = ya+y1/y2-y1 = za+z1/z2-z1
xa = ya+y1/y2-y1 - x1/x2-x1
za = ya+y1/y2-y1 - z1/z2-z1

Première droite défini par deux point 3 et 2

xb+x3/x2-x3 = yb+y3/y2-y3 = zb+z3/z2-z3
xb = yb+y3/y2-y3 - x3/x2-x3
zb = ya+y3/y2-y3 - z3/z2-z3

Les point A et B sont ceux recherchés

équations du rayon avec les coordonnés des point A et B

(xa-a)²+(ya-b)²+(za-c)² = r²
(xb-a)²+(yb-b)²+(zb-c)² = r²

Suis je sur la bonne voie ? ai je oublié ou omis quelque chose ?
merci de votre aide

Remiguel

[martini_bird]

Salut,

tu devrais préciser ce que tu connais au départ et ce que tu cherches exactement: le centre du cercle? un cercle qui "fit" les deux droites (il y en a une infinité)? les points de contact avec un cercle? :confused:

Bien à toi.

[invite009d69d2]

Je pensais avoir exprimé ma demande au début :

Recherche des coordonnées des deux points d'intersections (A et B) entre le rayon d'union avec les deux droites tangente (Voir schéma).

Entre d'autres termes, j'ai deux droites définies par trois points dans l'espace. Les coordonnées sont 1xyz, 2xyz et 3xyz. Les deux droites se coupent au point 2.
Je fais passer un rayon de diamètre connu (50 mm) entre ces deux droites. Les deux droites sont donc tangentes au rayon (cercle) r respectivement aux points A et B
Je cherche les coordonnés xyz des points A et B
En CAO c'est facile mais je veux le parametriser.

Les donnés connues
Coordonnés des 3 points 1,2 et 3
Le rayon r = 50 mm

Les inconnues
Coordonnés des points A et B et du centre du rayon (Cercle)

Milles excuses si je n'est pas été clair

Remiguel

[martini_bird]

Je fais passer un rayon de diamètre connu (50 mm) entre ces deux droites. Les deux droites sont donc tangentes au rayon (cercle) r respectivement aux points A et B
Je cherche les coordonnés xyz des points A et B

Salut,
je ne t'avais pas tout à fait suivi et c'est pourquoi je me suis permis de te demander des précisions.

Je te propose cette démarche (cependant, il y a peut-être plus rapide): je note M₁, M₂, M₃ les points qui définissent les deux droites. Soient et les vecteurs unitaires associés et ; si les coordonnées de sont () dans la base canonique, alors le plan contenant les points M₁, M₂, M₃ a pour équation:
où d est à déterminer (grâce à la condition que le plan doit contenir l'un des points).

Dans ce plan, on peut alors facilement écrire l'équation des droites (M₂M₁) et (M₂M₃). Puis, après calculs, on trouve que où est la moitié de l'angle géométrique et R est le rayon du cercle (50).

Voilà, j'espère que ça t'aidera. Fais-moi signe si tu as besoin des calculs intermédiaires où d'autres choses.

Cordialement.

[invite009d69d2]

Salut martini_bird

Mes connaissances en mathématiques ne sont pas suffisante pour comprendre tes explications.

que signifie un vecteur précédé et suivit de || (double pipe)


amicalement

Remiguel

[g_h]

||AB|| = Norme du vecteur AB (sa longueur)

[Rocky75]

Bonjour Remiguel,
J'ai exactement le même problème que toi en 2D. Je viens de créer une nouvelle discussion à ce propos, avant de lire celle-ci.
Si depuis le temps tu as trouvé la réponse à ta question, je suis preneur (en 2D, c'est même plus simple).

Merci !!

[invite009d69d2]

J'avoue que je n'ai avancé beaucoup, malgrès l'aide apportée sur ce forum.
En 2D je pense que c'est faisable simplement par de la trigonométrique de base. Non ?

Remiguel

[Rocky75]

J'ai eu des réponses intéressantes. Effectivement, en 2D c'est nettement plus facile. Si tu veux regarder:
http://forums.futura-sciences.com/sh...1&goto=newpost

Bon courage !!

[invitebf65f07b]

J'ai eu des réponses intéressantes. Effectivement, en 2D c'est nettement plus facile. Si tu veux regarder:
http://forums.futura-sciences.com/sh...1&goto=newpost

Bon courage !!

je ne sais pas si tu te réfères à ma réponse, mais elle est entièrement transposable dans le cas 3D : la formulation vectorielle est strictement la même, il faut juste calculer en plus la troisième coordonnée

[invite009d69d2]

J'ai jeté un oeil sur ta réponse en effet. Cela me semble intéressant. Mais comment peut on la transposer en Visualbasic ou un autre langage ?
Comment déclarer un vecteur pour faire les opérations que tu indiques dans un langages simple. Integer Double ou autre ?


Remiguel

[invitebf65f07b]

salut,
pas besoin de déclarer de vecteurs, j'ai écrit ce que donnent les calculs directement sur les coordonnées des points...

par contre, je me rends compte que le passage à la 3D n'est pas pour autant immédiat à cause de mon u' qui ne s'exprime plus de la même manière.
je reviendrais sur ce point quand j'aurais le temps

[invitebf65f07b]

bon alors pour ceux qui suivent mon histoire,
v' est un vecteur du plan décrit par les deux droites (ou dit autrement le plan contenant u et v) et qui est perpendiculaire à v.
w=v^(u^v) (^ pour le produit vectoriel) suit cette description. si on se souvient de ses formules, on peut écrire que w=(v.v)u-(v.u)v.
on a donc :
x_w=(x_v²+y_v²)x_u-(x_vx_u+y_vy_u)x_v
y_w=(x_v²+y_v²)y_u-(x_vx_u+y_vy_u)y_v

ensuite on écrit v' comme le vecteur unitaire parallèle à w et qui soit tel que u.v'>0, c'est à dire v'=a*w/||w||. ce qui donne:
x_v'=a*x_w/(x_w²+y_w²)
y_v'=a*y_w/(x_w²+y_w²)
où a=+1 si u.w>0 et a=-1 sinon.

on obtient ainsi le v' dont je parlais et la suite est inchangée.

[invite009d69d2]

Merci de ton intérêt, mais à quoi correspond w ?

Si I est l'intersection de mes deux droites
je comprend que
u est la droite passant par A et I
v est la droite passant par B et I
w serait la bissectrice ?
J'ai vu que tu cherche k dans le message 2D. A quoi correspond t il ?
v' est le vecteur décrit par uv et perpendiculaire à v, sur lesquels ce trouve le centre du cercle ou Rayon r

Les noms de mes points et droites sont différant de ceux de Rocky 75. J'ai du mal à suivre

Remiguel

[invite009d69d2]

Dans ma réponse précédente, j'ai écris droite alors que c'est vecteur
u, v et w sont des vecteurs ...
Une question qui, avec la réponse peut être m'aidera à avancer :
L'expression
xu = (xA-xB)/||BA||
pourrait elle s'écrire comme suit
xu = (xA-xB)/((xB.xA)^2)+((yB.yA)^2)
Avec ^2 Elevé au carré

Merci de votre indulgence et patience

Remiguel

[invitebf65f07b]

Dans ma réponse précédente, j'ai écris droite alors que c'est vecteur
u, v et w sont des vecteurs ...

oui, excuse moi je n'ai pas tout réexpliqué. c'est sûr qu'il faut voir mon poste de la discussion de Rocky75(http://forums.futura-sciences.com/sh...1&goto=newpost)
pour comprendre

Une question qui, avec la réponse peut être m'aidera à avancer :
L'expression
xu = (xA-xB)/||BA||
pourrait elle s'écrire comme suit
xu = (xA-xB)/((xB.xA)^2)+((yB.yA)^2)
Avec ^2 Elevé au carré

presque... en fait on a plutôt ||BA||=((x_B-x_A)^2)+((y_B-y_A)^2)

[invite009d69d2]

Voila ce que j'ai compris pour le 2D. J'essaie de résoudre le problème en 2D avec ton aide pour continuer le travail en 3D par la suite

J'ai :
une droite passant par A et B et une deuxieme par B et C. (B est donc le point d'intersection des deux droites).
Un cercle tangeant à c'est deux droites de rayon r et de centre R.

Recherche de u et v
xu = (xA-xB)/||BA||
yu = (yA-yB)/||BA||
et
xv = (xC-xB)/||BC||
yv = (yC-yB)/||BC||

Donc nous avons
xu = (xA-xB)/(((xB-xA)^2)+((yB-yA)^2))
yu = (yA-yB)/(((xB-xA)^2)+((yB-yA)^2))
et
xv = (xC-xB)/(((xB-xC)^2)+((yB-yC)^2))
yv = (yC-yB)/(((xB-xC)^2)+((yB-yC)^2))

Recherche de v'
xv' = yv * a
yv' = -xv * a
où a=+/- 1. le rôle de a est ici de faire en sorte que v'.u>0. (produit scalaire)

Recherche de k
k*u.v'=r
k=a*r/(xu*yv'-xv'*yu) ==> je crois que c'est v' sur l'original il est ecrit v

Recherche du centre du cercle R
xR = xB + k*(xu+xv)
yR = yB + k*(yu+yv)

J'ai programmé une petite routine avec ce que j'ai compris, et je ne retrouve pas les coordonnées exact du cercle R (le résultat n'est pas aberrant mais il n'est pas correcte)

Où est ce que je me plante ?


Remiguel

[invitebf65f07b]

Recherche de k
k*u.v'=r
k=a*r/(xu*yv'-xv'*yu) ==> je crois que c'est v', sur l'original il est ecrit v
[...]
Où est ce que je me plante ?

ici (il fallait pas vouloir me corriger ). je m'explique : après quelques développements, j'arrive à k*u.v'=r. mais il faut calculer le produit scalaire proprement, en effet, on a :
u.v'=x_ux_v'+y_uy_v'
or par définition :
x_v' = y_v * a
y_v' = -x_v * a
d'où
u.v'=a*(x_uy_v -y_ux_v)

donc au final, on a bien:
k=a*r/(x_u*y_v-x_v*y_u)

dis moi si ça marche mieux comme ça

[invite009d69d2]

Je ne prétends surtout pas te corriger .
J'essaie de comprendre et pour cela j'y vais petit à petit en signalant mes doutes. Je vais essayer.

Encore merci de ton aide

Remiguel

[invite009d69d2]

J'ai pris un exemple numérique simple
xA = 0
yA = 0
xB = 100
yB = 100
xC = 0
YC = 200
r = 50
Graphiquement je trouve
xR = 29,29
yR = 100

Recherche de u et v
xu = -0,005
yu = -0,005
et
xv = -0,005
yv = 0,005

Recherche de v'
xv' = 0,005
yv' = 0,005

Recherche de k
k = 1000000

Recherche du centre du cercle R
xR = -9900
yR = 100

Je vais dormir j'espère y voir plus clair demain matin

Remiguel

[invitebf65f07b]

tu as bien fait de prendre un exemple, on voit mieux les choses qui clochent.

alors déjà, oui j'ai fait une erreur quelque part : j'ai oublié de mettre la racine carré pour le calcul des normes donc ça donne ||AB||=( (x_B-x_A)²+(y_B-y_A)²)^1/2
dans ton exemple, on aura donc:
x_u=-0,707...
y_u=-0,707...
etc...

à ton tour maintenant
pour le calcul de v', tu as du oublié de prendre en compte le 'a' car moi je trouve
xv' = -0,7..
yv' = -0,7.. (c'est pas tant le "0,7.." que l'absence de moins qui me gêne)
pour coder la chose, le mieux à mon avis, c'est d'appliquer dans un premier temps
x_v'=y_v
y_v'=-x_v
puis de calculer u.v'=x_ux_v'+y_uy_v', si c'est positif, on touche à rien, si c'est négatif, alors
x_v' <- -x_v'
y_v' <- -y_v'

voilà

ou alors, tu calcules juste x_u, y_u, x_v, y_v et a, ce qui te donne k et donc x_R et y_R

PS : pour ton exemple, en déroulant la méthode à la main je trouve k=50 et
x_R=29,28932...
y_R=100