Démonstration f dérivable => f continue

[jall2]

Bonjour

J'ai vu dans un cours cette démonstration qui me paraît douteuse:

Soit f une fonction de R dans R dérivable en x0

on a f(x) = ((f(x)-f(x0)/(x-x0))*(x-x0) + f(x0) donc lim f(x) (pour x->x0) = f'(x0)*0 + f(x0) = f(x0)
donc f est continue en x0

Or l'expression ((f(x)-f(x0)/(x-x0))*(x-x0) + f(x0) n'est pas définie pour x=x0 donc ce n'est pas f qui elle est bien définie en x0

Mieux vaut écrire:

Soit g(x) = ((f(x)-f(x0)/(x-x0))*(x-x0) + f(x0)
si x/= x0 g(x) = f(x)
et g pas définie en x0

On a: lim g(x) (pour x->x0) = f(x0)

On peut donc prolonger g par continuité en x0 en posant g(x0) = f(x0)

Ainsi prolongée, g = f
donc f continue en x0

Vous allez me dire que c'est du pinaillage mais les maths doivent être rigoureuses pour être bien comprises
Qu'en pensez vous ?
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[ansset]

Bonjour

J'ai vu dans un cours cette démonstration qui me paraît douteuse:

Soit f une fonction de R dans R dérivable en x0

on a f(x) = ((f(x)-f(x0)/(x-x0))*(x-x0) + f(x0) donc lim f(x) (pour x->x0) = f'(x0)*0 + f(x0) = f(x0)
donc f est continue en x0

c'est effectivement une très mauvaise démonstration.
et plutôt que ta proposition, je préfère celle ci:
http://www.lycmassenamathsdeb.fr/pag...rainecont1.PDF