Bonjour, je n'arrive pas à un exercice :
m est un paramètre réel strictement positif.
On considère la famille des fonctions fm(x)=x + m(x+1)e^-x
Pour quelles valeurs de m la fonction fm est-elle strictement croissante?
Je pensais faire la dérivée. Sauf que le m me gêne je sais pas comment le dérivée. Si c'est un paramètre c'est une constante donc sa dérivée c'est 0. Alors j'aurais fm'(x)= 1 - mxe^-x
m est un paramètre, quand on dit fm(x) strictement croissante, c'est par rapport à x.
Tu dois donc dériver par rapport à x et déterminer à quelle condition sur m cette dérivée est strictement positive.
Il y a t-il une précision dans l'énoncé sur le domaine de x ( R+ par exemple ) ?
C'est sur R.
Il faut que j'étudie le signe de fm'(x). Je dois voir quand c'est positif et quand c'est négatif.
1-mxe^-x>0
ssi mxe^-x<1
ssi x < 0
c'est une condition sur m que tu cherches et non sur x. Pour x, la fonction dérivée doit être strictement positives pour tous x.
1-mxe^x > 0
m < 1/xe^x pour tout x.
Dernière modification par Merlin95 ; 13/12/2019 à 19h25.
Mais la dérivée n'est pas toujours positive...
Pour tout x différent de 0.
la dérivée d'une fonction strictement croissante peut s'annuler en des points isolés.Envoyé par Merlin95
Je ne comprends pas.
et alors ?
Le problème c'est que 1/(xe^-x) parcourt IR donc m ne peut jamais être inférieur à 1/(xe^-x) pour tout x. Donc c'est impossible il n'y a pas de solution. A moins que x soit uniquement sur R+ peut-être.
Oui c'est vrai.
m<1/xe^-x dans le cas de la dérivée mais il faut que ça le soit aussi pour la fonction fm
Je n'ai pas compris ce que tu veux dire.
Pourquoi on dit il faut que m< 1/xe^-x ? Il faut trouver les valeurs de m pour que fm soit croissante.
il existe une et une seule solution pour m , si on veut que ce soit pour tout x dans R.
elle est triviale.
le passage de la première à la seconde ligne est faux sur R.
indépendamment de la faute de frappe sur le e(-x)
La condition de croissance deest donc pour tout réel x :
Pour x < 0, mx est négatif et la condition est réalisée sans condition sur m, idem pour x = 0
Pour x > 0, l'inégalité (1) donne
Une petite étude de la fonction
La condition est donc
oui c'est vrai, il faut différencier le cas x =0
c'est bizarre je vois pas l'erreur pourtant sur la dérivée.il existe une et une seule solution pour m , si on veut que ce soit pour tout x dans R.
elle est triviale.
edit : croisement peut-être
faux.Une petite étude de la fonction
La condition est donc
que se passe t-il au voisinage de x=0+ ?
je répète : il existe quand même une solution unique.
ton erreur était sur le sens de l'inégalité qui change quand x<0. ( en sus d'avoir remplacé e(-x) par e(x) )
Et il n'y a pas à différentier le cas x=0
D'où ça sort ce e^x-mx/e^x ?
De
suivi d'une réduction au même dénominateur (et c'est plutôt (e^x-mx)/e^x).
Cordialement.
Ok mais la condition est pour fm'(x) le problème n'est donc pas résolu ?
Et la réponse n'est pas pour m < e.
Exemple : m = -2
Relis le message de Carac8b10.
Ansset semble ne pas avoir lu l'hypothèse "m est un paramètre réel strictement positif", ou j'interprète de travers ses propos.
Cordialement.
effectivement , je n'avais fait que le survoler....
le petit détail tue ma solution unique.
Ce qui m'a induit en erreur est la faute de frappe de CARAC8B10
Il faut lireUne petite étude de la fonction
La condition est donc
Je ne crois pas mais je ne suis pas bien sur.
sur de quoi ?
CRARC8 avait raison , sauf qu'il a fait une faute de frappe.
et la conclusion est bien
car m peut être égal à e ( il y a un point d'inflexion en x=1 mais la fct reste strict croissante )
quand à moins, j'ai annoncé bien trop vite ma ( mauvaise ) solution unique.
méa culpa.
