exercice exponentielle

[invite9a9ff281]

Elimination d'un médicament :

On décide de mesurer, en fonction du temps, la quantité de principe actif d'un médicament présent dans le sang d'un patient en traitement dans un hôpital.
* A l'instant t, exprimé en minutes, on note q(t) la quantité exprimé en milligrammes de ce principe actif, contenue dans le sang d'un patient.
* On admet que la fonction q est solution de l'équation différentielle.

(E) : 4y' + y= - 0,002t + 2,992
ou y est une fonction de la variable réelle t définie et dérivable sur [0 ; 1440] et y' sa fonction dérivée.

1.a. Résoudre l'équation (Eo) : 4y' + y = 0 sur [0 ; 1440].
b. Déterminer les 2 nombres réels a et b tels que la fonction g définie sur [0 ; 1440] par g(t) = at + b soit une solution particulière de l'équation différentielle (E).
c. Soit h une fonction définie et dérivable sur [0 ; 1440]. Démontrer que h est solution de (E) équivaut à (h - g) est solution de (Eo).
d. En déduire l'ensemble des solutions de (E).

2.a. Démontrer que la solution q de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale q(0) = 0 est la fonction définie sur [0 ; 1440]
par q(t) = 3 - 0,002t - 3e^(-t/4)
b. Calculer la dérivée de q sur [0 ; 1440].
c. Etudier les variations de q sur [0 ; 1440] et donner son tableau de variations.

3.a. Au bout de combien de temps, la quantité de principe actif est-elle maximale ?
b. Calculer la quantité de principe actif restant dans le sang d'un patient 24 heures après l'injection du médicament (arrondi à 10^-2 près).

Voilà le sujet...

j'ai trouvé la repéponse pour la première question, a,b,c,d
mais après je bloque...



1.a. (Eo) : 4y'+y=0 <--> 4y'= -y <--> y'=-y/4

b. y' = -4y <--> y'= -1/4 y + 0

g(t)= at+ b --> a= -1/4 b=0


g= at+b
et je trouve a=-0.002 et b=3

c
h-g solution de 4y'-y=0 signifie que :

4(h-g)' + h - g = 0
4h' - 4g' + h - g = 0
4h' + h = 4g' + g

on a g(t) = at+b on remplace :
4h' + h = 4a + at + b

d'après la question 1.b. on a 4a + at + b = - 0.002 + 2.992
on remplace:
4h'+h = - 0.002 + 2.992

h solution de (E) : 4h'+h = - 0.002 + 2.992 équivaut donc à h-g solution de (Eo)

d
On a h solution de (E) ssi h-g est solution de (Eo) ssi h-g = Ce^(-1/4t)


Aidez moi pour la question 2 s'il vous plait et 3
et si je me suis trompée...
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[Duke Alchemist]

Bonsoir.

1.a n'est pas terminé. On veut y(t) = ...

Duke.

[invite9a9ff281]

Mais comment je dois faire ?
Le reste est bon?

[invitec43b1e5d]

y'/y = ...

ca ressemble à une dérivé d'une fonction connue

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec43b1e5d]

Le reste est bon?

ola! non c'est pas bon

tu remplace y par g dans ton equation (donc y' par g' qui est egal à a)

4a + a*t+b= - 0,002t + 2,992

a = -.002 et 4a+b = 2.992

[invite9a9ff281]

pour la 1. a) j'ai recommencé et je trouve ça

(h-g) est solution de (Eo) (=) 4 (h-g)'+(h-g) = 0
(=) 4h'-4g+h-g = 0
(=) 4h'-4(-0.002)+h-(-0.002t+3)=0
(=)4h'+h=-0.002t+2.992

cette fois ci est ce bon?
Pour la suite de l'exercice je ne vois pas comment faire....

[invitec43b1e5d]

pour la 1. a) j'ai recommencé et je trouve ça

1.c tu veu dire..

(Eo) : 4y' + y = 0

pas de 0.002 etc..

4(h-g)' + h - g = 4h' - 4g' + h - g = 4h' + h -( 4g' + g)
comme g et h sont des solutions de Eo donc ( 4g' + g)=0 et (4h' + h) = 0
on conclu que (h-g) est une solution de Eo

[invite9a9ff281]

Ok, oui je me suis trompée dans la question. Mais pour la 1.a je ne comprends pas, et j'ai bien regardé dans mes cours je n'ai pas fait la dérivée de y'/y....
mais je suis dans le chapitre de exponentielle en ce moment...

[invitec43b1e5d]

ln(f(x))'=f(x) '/f(x) ca te dis quelque chose?

[invite9a9ff281]

J'ai pas encore appris la dérivée du logaritme....

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

u'/u est la dérivée de ln|u|, non ?
tout comme 1/x est la dérivée de ln|x|

Duke.

[invite9a9ff281]

Pour la question 2 a
j'obtiens ça:

h(t)=K*exp(-t/4)-0.002*t+3
=>h(0)=K*exp(0)-0.002*0+3
=>h(0)=K*1+3
.....

je ne trouve pas K=0
si quelqu'un peut m'expliquer comme parvenir au resultat

je vous en remercie davance.

[invite9a9ff281]

Bon j'ai réussi a tout faire sauf la 2a et la question 3, y a vraiment personne qui peut m'aider.....