Limites de suites et FI

[invite652ff6ae]

Bonjour,

j'ai une suite qui converge vers sachant que

Je cherche

Intuitivement cela donne 0 puisqu'on aura
Cependant je tombe sur une forme indéterminée et je sais donc pas comment la rédiger proprement cette limite

Merci
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[invite754f3790]

ta question n'a pas de réponse, ça dépend de
Notons

Par exemple :

Si alors

Si alors

Si alors

[Flyingsquirrel]

Salut,

Intuitivement cela donne 0 puisqu'on aura

Non. Pour la suite de terme général on a . En fait, sans hypothèse supplémentaire sur , peut prendre n'importe quelle valeur (y compris 0 et ).

[invite652ff6ae]

Ah oui j'oubliais : est décroissante, bornée entre 0 et 1.
Et j'ai fait une erreur : :

Cela change t-il quelque chose ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

Ah oui j'oubliais : est décroissante, bornée entre 0 et 1.
Et j'ai fait une erreur : :

Cela change t-il quelque chose ?

Non. Pour , la suite définie par (pour ) est décroissante et tend vers donc à partir d'un certain rang tous les termes de la suite sont dans . En posant (pour ) on obtient une suite qui est décroissante, dont tous les termes sont dans et qui converge vers mais

Donc sans autre hypothèse on ne peut toujours rien dire d'intéressant sur la limite qui t'intéresse.

[invite754f3790]

ça change pas grand chose, pose , alors mais peut tendre vers n'importe quoi.

prend , alors tend vers l>0 mais tend vers a.

[invite652ff6ae]

Merci, cependant on me demande de montrer que la limite est justement 0.

Dernière précision, on peut écrire . avec k un entier strictement positif.

[invite754f3790]

ça change toujours rien, il doit manquer qqch.

[invite652ff6ae]

Y'aurait t-il une condition sur l supplémentaire pour que cela marche ?

[Flyingsquirrel]

Y'aurait t-il une condition sur l supplémentaire pour que cela marche ?

Non, pour n'importe quelle valeur de on peut fabriquer une suite de limite et telle que vaille ce que l'on veut (on en a donné des exemples dans les messages précédents).

On peut savoir pourquoi tu veux calculer ? Si c'est une question tirée d'un exo, est-ce que tu pourrais nous donner la question exacte ainsi que les résultats démontrés aux questions précédentes s'il y en a ?

[invite652ff6ae]

Ben c'est un problème donc c'est un peu long mais :

J'ai démontré que était décroissante et tendait vers

On a posé

et je dois démontrer que

ce qui revient à montrer ce que j'ai dit non ?

[Flyingsquirrel]

ce qui revient à montrer ce que j'ai dit non ?

Non car tu as forcément plus d'informations que cela sur . Comment est-elle définie dans l'exo ?

[invite652ff6ae]

Bah je sais pas si ça va beaucoup t'aider :

est la racine dans du polynôme

[Flyingsquirrel]

est la racine dans du polynôme

Alors on a

.

Le membre de gauche est la somme des premiers termes de la suite géométrique de premier terme et de raison donc il vaut . Par conséquent

On tire de cette dernière égalité puis

Pour conclure il suffit donc de prouver que .

[invite652ff6ae]

Pour conclure il suffit donc de prouver que .

Merci !

Mais je n'arrive toujours pas à conclure...

[invite652ff6ae]

En fait, on peut également démontrer la relation que tu as donnée en remarquant que

On obtient que

donc

donc il suffit de montrer que tend vers 0, mais comment ?

[Flyingsquirrel]

En fait, on peut également démontrer la relation que tu as donnée en remarquant que

Oui, c'est bien plus simple que ma méthode.

donc il suffit de montrer que tend vers 0, mais comment ?

On sait que est une suite de nombre positifs et qu'elle tend vers 1/2 donc, à partir d'un certain rang , et par conséquent . Comme le membre de droite tend vers 0 quand tend vers l'infini, on conclut avec le théorème des gendarmes.

[invite652ff6ae]

Ah merci beaucoup !