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Nombre complexes



  1. #1
    IamMe

    Nombre complexes


    ------

    Bonjour, pouvez-vous m'aider pour mon exercice ?

    On donne le nombre complexe j = -1/2 + i√(3)/(2)

    A :

    1.Déterminer une forme exponentielle de j.
    2.Démontrer les égalités :

    a) J^3=1
    b)1/j = j barre
    c)j^2 = - 1 -j

    B :

    Soit a, b et c des nombres complexes vérifiant a + jb + cj^2=0.
    On note A,B et C les images respectives des nombres a, b et c dans le plan.

    1.En utilisant la partie A, justifier que aj^2+b+cj = 0 puis que b-a=j(a-c).

    2. En déduire que :
    a)AB = AC
    b) (vecAB, vecAC) = Pi/3 (2pi)

    3. Quelle est la nature du triangle ? Justifier.


    A :
    1. J'ai trouvé : j = e^i2pi/3
    2.j^3= (e^i2pi/3)^3=eî*3*2pi/3=1
    1/j = 1/(e^i2pi/3)=e^-i2pi/3= j barre
    j^2=(e^i2pi/3)^2=e^i*2*2pi/3=-1/2-iracine de 3/2 = -1 (-1/2 + i racine de 3/2)= -1 - j.

    B :
    1.j^2(a+jb+cj^2)=j^2*0
    aj^2+bj^3+cj^4=0
    Et cela vaut :
    aj^2 + b + cj = 0
    car j^3b=1*b=b
    cj^4=c*j*1=cj

    aj^2+b+cj=0
    a(-1-j)+b+cj=0
    -a-aj+b+cj=0
    b-a=aj-cj
    b-a=j(a-c)

    2.AB = |b-a|=|j(c-a)|=|j||c-a|=|c-a|=AC

    Et pour (vecAB, vec AC)= pi/3 (2pi)
    Je ne trouve pas...

    -----

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  3. #2
    gg0

    Re : Nombre complexes

    Bonjour.

    A : La dernière égalité n'est pas justifiée !!
    B 2 : De b-a=j(a-c) on tire |b-a|=|j| |a-c|, mais aussi arg(b-a)=arg(j)+ arg(a-c) et tu sais interpréter arg(b-a) - arg(a-c). Tu peux aussi tirer j de l'égalité b-a=j(a-c) et utiliser un résultat classique sur l'argument d'un quotient de complexes.

    Cordialement.

  4. #3
    IamMe

    Re : Nombre complexes

    Non mais en fait pour AB = AC c'est faux ce que j'ai fait.. C'est pas j(c-a) c'est j(a-c)... Je suis bloqué...

  5. #4
    ansset

    Re : Nombre complexes

    Citation Envoyé par IamMe Voir le message
    Et pour (vecAB, vec AC)= pi/3 (2pi)
    Je ne trouve pas...
    comme on a :
    b-a=j(a-c).
    On en déduit
    et donc
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  6. #5
    ansset

    Re : Nombre complexes

    ps : faire un petit dessin peut aider à visualiser.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    IamMe

    Re : Nombre complexes

    Mais j'ai pas fait le produit scalaire...
    J'ai juste (vecAB, vecAC)= arg(zc-za)-arg(zb-za)=arg(zc-za/zb-za)

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  10. #7
    gg0

    Re : Nombre complexes

    " C'est pas j(c-a) c'est j(a-c)" Heu ... AC = CA, non ?

    OK pour ton dernier message.

  11. #8
    IamMe

    Re : Nombre complexes

    Oui, ac=ca.

  12. #9
    ansset

    Re : Nombre complexes

    Citation Envoyé par IamMe Voir le message
    Mais j'ai pas fait le produit scalaire...
    J'ai juste (vecAB, vecAC)= arg(zc-za)-arg(zb-za)=arg(zc-za/zb-za)
    ça revient au même
    (vecAB, vecAC)=pi-(vecAB, vecCA) ( pour reprendre tes notations )
    d'où la visualisation géométrique qui peut être utile.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  13. #10
    IamMe

    Re : Nombre complexes

    Et pour la nature du triangle ? J'aimerais vérifier si BC = AB = AC car comme ça je peux voir si c'est un triangle équilatéral. Je pense que oui car il y un angle qui fait pi/3...

  14. #11
    ansset

    Re : Nombre complexes

    Il te faut juste reprendre le début de l'exercice avec une autre équation qui abouti à une nelle formule qui donne bien les résultats.
    ( en fait tu as au départ 3 équations équivalentes et pas seulement 2 ).
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  15. #12
    IamMe

    Re : Nombre complexes

    Et comment je trouve cette nouvelle équation ?

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  17. #13
    ansset

    Re : Nombre complexes

    comment as tu fait pour B 1) ?
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  18. #14
    IamMe

    Re : Nombre complexes

    Je l'avais déjà.. Je partais de celle de l'énoncé et je calculais pour arriver à celle de la question.

  19. #15
    ansset

    Re : Nombre complexes

    je voulais dire pour la première question:
    1.En utilisant la partie A, justifier que aj^2+b+cj = 0 puis que b-a=j(a-c).
    de la même manière tu peux obtenir
    aj^2+b+cj=0 et comme j^2=-1-j
    -a-aj+b+cj=0 soit
    (b-a)=j(a-c)
    et en tirer tout ce qui suit de manière équivalente.
    la norme et l'angle
    Dernière modification par ansset ; 24/12/2019 à 12h21.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  20. #16
    ansset

    Re : Nombre complexes

    Edit, correction ( j'ai recopié )
    de la même manière tu obtiens
    aj+bj^2+c=0 et avec j^2=-1-j
    aj-b-bj+c=0 soit
    (c-b)=j(b-a),
    et donc les conclusions qui suivent ( norme et angle )
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

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