Nombre complexes

[invite01a3f27b]

Bonjour, pouvez-vous m'aider pour mon exercice ?

On donne le nombre complexe j = -1/2 + i√(3)/(2)

A :

1.Déterminer une forme exponentielle de j.
2.Démontrer les égalités :

a) J^3=1
b)1/j = j barre
c)j^2 = - 1 -j

B :

Soit a, b et c des nombres complexes vérifiant a + jb + cj^2=0.
On note A,B et C les images respectives des nombres a, b et c dans le plan.

1.En utilisant la partie A, justifier que aj^2+b+cj = 0 puis que b-a=j(a-c).

2. En déduire que :
a)AB = AC
b) (vecAB, vecAC) = Pi/3 (2pi)

3. Quelle est la nature du triangle ? Justifier.


A :
1. J'ai trouvé : j = e^i2pi/3
2.j^3= (e^i2pi/3)^3=eî*3*2pi/3=1
1/j = 1/(e^i2pi/3)=e^-i2pi/3= j barre
j^2=(e^i2pi/3)^2=e^i*2*2pi/3=-1/2-iracine de 3/2 = -1 (-1/2 + i racine de 3/2)= -1 - j.

B :
1.j^2(a+jb+cj^2)=j^2*0
aj^2+bj^3+cj^4=0
Et cela vaut :
aj^2 + b + cj = 0
car j^3b=1*b=b
cj^4=c*j*1=cj

aj^2+b+cj=0
a(-1-j)+b+cj=0
-a-aj+b+cj=0
b-a=aj-cj
b-a=j(a-c)

2.AB = |b-a|=|j(c-a)|=|j||c-a|=|c-a|=AC

Et pour (vecAB, vec AC)= pi/3 (2pi)
Je ne trouve pas...
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[gg0]

Bonjour.

A : La dernière égalité n'est pas justifiée !!
B 2 : De b-a=j(a-c) on tire |b-a|=|j| |a-c|, mais aussi arg(b-a)=arg(j)+ arg(a-c) et tu sais interpréter arg(b-a) - arg(a-c). Tu peux aussi tirer j de l'égalité b-a=j(a-c) et utiliser un résultat classique sur l'argument d'un quotient de complexes.

Cordialement.

[invite01a3f27b]

Non mais en fait pour AB = AC c'est faux ce que j'ai fait.. C'est pas j(c-a) c'est j(a-c)... Je suis bloqué...

[invite51d17075]

Et pour (vecAB, vec AC)= pi/3 (2pi)
Je ne trouve pas...

comme on a :
b-a=j(a-c).
On en déduit
et donc

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

ps : faire un petit dessin peut aider à visualiser.

[invite01a3f27b]

Mais j'ai pas fait le produit scalaire...
J'ai juste (vecAB, vecAC)= arg(zc-za)-arg(zb-za)=arg(zc-za/zb-za)

[gg0]

" C'est pas j(c-a) c'est j(a-c)" Heu ... AC = CA, non ?

OK pour ton dernier message.

[invite01a3f27b]

Oui, ac=ca.

[invite51d17075]

Mais j'ai pas fait le produit scalaire...
J'ai juste (vecAB, vecAC)= arg(zc-za)-arg(zb-za)=arg(zc-za/zb-za)

ça revient au même
(vecAB, vecAC)=pi-(vecAB, vecCA) ( pour reprendre tes notations )
d'où la visualisation géométrique qui peut être utile.

[invite01a3f27b]

Et pour la nature du triangle ? J'aimerais vérifier si BC = AB = AC car comme ça je peux voir si c'est un triangle équilatéral. Je pense que oui car il y un angle qui fait pi/3...

[invite51d17075]

Il te faut juste reprendre le début de l'exercice avec une autre équation qui abouti à une nelle formule qui donne bien les résultats.
( en fait tu as au départ 3 équations équivalentes et pas seulement 2 ).

[invite01a3f27b]

Et comment je trouve cette nouvelle équation ?

[invite51d17075]

comment as tu fait pour B 1) ?

[invite01a3f27b]

Je l'avais déjà.. Je partais de celle de l'énoncé et je calculais pour arriver à celle de la question.

[invite51d17075]

je voulais dire pour la première question:

1.En utilisant la partie A, justifier que aj^2+b+cj = 0 puis que b-a=j(a-c).

de la même manière tu peux obtenir
aj^2+b+cj=0 et comme j^2=-1-j
-a-aj+b+cj=0 soit
(b-a)=j(a-c)
et en tirer tout ce qui suit de manière équivalente.
la norme et l'angle

[invite51d17075]

Edit, correction ( j'ai recopié )
de la même manière tu obtiens
aj+bj^2+c=0 et avec j^2=-1-j
aj-b-bj+c=0 soit
(c-b)=j(b-a),
et donc les conclusions qui suivent ( norme et angle )