À quoi sert cette équation ?

[Matlabo]

Salut; (Ça fait longtemps )
Dans un exercice on a a cette équation avec x et y des entiers relatifs:

2772x-1260y=504

Dans la première question on nous demande de trouver le PGCD de 2772 et de 1260 puis de démontrer que cette équation a bel et bien des solutions.(Fait)

Dans la question numéro 2 il nous est demandé de trouver une solution (x₀;y₀)qui satisfait l'équation mise en haut et l'égalité suivante:

2x₀²-3y₀=-4

Puis en utilisant la solution (x₀;y₀)résoudre la première équation.


Ma question est pourquoi nous donner la seconde égalité elle sert à quoi ?

Je me dis que c'est peut-être une manière d'introduire la manière de résoudre les équations diophantiennes car pas encore fait le théorème de Bézout et celui de Gauss.


Merci d'avance
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[Black Jack 2]

Bonjour,

L'énoncé suggère qu'il y a une solution au système :
2772x - 1260y = 504 (1)
2x²-3y = -4

Il suffit donc de résoudre ce système pour trouver un couple (xo,yo) (de Z²) qui sera solution de (1)

A partir de ce couple (xo,yo), il est facile de trouver l'expression de tous les couples solutions de (1)
L'équation (1) ayant été simplifiée à l'aide de la réponse à la première question.

Voila ... à toi d'y aller.

[Matlabo]

En résolvant le système on trouve une solution qui n'appartient pas à Z donc c'est refusé et une autre qui fait l'affaire. (x0;y0) =(2;4)

Vous dit qu'à partir de cette solution il est facile de trouver l'expression des solutions de l'équation, mais je ne vois pas encore l'utilité de la seconde équation...

[Black Jack 2]

Bonjour,

L'utilité (ici) de la seconde équation t'a permis de trouver un couple solution sans avoir à le trouver autrement.

Une bonne question aurait été, "d'où l'auteur a t-il sorti cette seconde équation ?"

Est-ce une équation qu'on peut tirer des propriétés des équations diophantiennes ?

Ou bien une équation bricolée par l'auteur du problème ?

Personnellement, je n'en sais rien, peut-être uniquement déterminée par le prof en faisant le problème à l'envers, j'entends par là, qu'il a cherché un couple solution de (1) et a introduit ce couple solution dans une équation du type a.x² + by = c et puis a calculé a, b et c pour que cela colle.

Peut être quelqu'un aura-t-il une autre idée

[A voir en vidéo sur Futura]

[Matlabo]

Oui c'est vrai que c'est une bonne question en tout cas si j'ai des nouvelles je vous préviens et Merci pour l'aide

[invite51d17075]

Dans un exercice on a a cette équation avec x et y des entiers relatifs:

2772x-1260y=504

Dans la première question on nous demande de trouver le PGCD de 2772 et de 1260 puis de démontrer que cette équation a bel et bien des solutions.(Fait)

Dans la question numéro 2 il nous est demandé de trouver une solution (x₀;y₀)qui satisfait l'équation mise en haut et l'égalité suivante:

2x₀²-3y₀=-4

Puis en utilisant la solution (x₀;y₀)résoudre la première équation.

tout me semble clair jusqu'à cet dernière phrase soulignée très incongrue.

en effet , l'équation 1) seule a une infinité de solutions
(2;4) est solution mais on peut en déduire facilement que tous les (2+5k;4+11k) sont solutions.
la deuxième équation ne me semble être là que pour créer un système qui donne une solution unique.
donc celle ci n'est pas là pour résoudre la première ( ce que laisse entendre cette phrase )

et il est encore plus facile d'imaginer une seconde équation du même type qui ne donne aucun résultat "entier".
car il s'agit de l'intersection d'une droite ( avec coeffs entiers ) et d'une parabole, et où une des intersections donne une abcisse x entière. ( et donc y entier aussi car les coeff sont entiers)

[Black Jack 2]

Bonjour,

Certes l'énoncé ne mentionne pas clairement qu'il s'agit d'équation diophantienne, si ce n'est dans la toute dernière ligne de l'énoncé ... cela aurait pu être plus clairement dit.

Je ne pense pas que la phrase soulignée soit incongrue ... bien que d'approche "non habituelle".

A partir de la question 1, il est facile de simplifier : 2772x-1260y=504 en :
11x - 5y = 2

Pour trouver les solutions dans Z², il y a 2 difficultés (pas très grandes, mais soit)

a) On voit de suite par 11x - 5y = 2; que si il y a des solutions , elles sont du type :
x = xo + 5k
y = yo + 11k
avec k dans Z et avec (xo,yo) un couple solution quelconque.

b) Encore faut-il trouver un couple solution quelconque ...
Et dans le cas de l'exercice, la seconde équation donne un moyen de trouver un tel couple solution sans connaissances particulières.

Mais ce n'est que mon interprétation.

[Matlabo]

Okk, sinon j'ai une autre question trouvé un peu plus loin dans l'exercice, Cette fois ci on nous demande de trouver le reste de la division euclidienne de 2^n par 10.
Là je n'ai pas trouvé une valeur de n de manière à ce que 2^n soit congrue à 1 modulo 10, donc je me mets à donner des valeurs pour n et trouver une période mais comme ça, ça va être une conjecture..... Alors comment faire pour trouver le reste de la division euclidienne de 2^n par 10.

Thanks

[danyvio]

Regarde pour n=0, puis 1 , 2 3 etc tu vas trouver une périodicité intéressante…

[Matlabo]

J'ai trouvé la périodicité mais comment la démontrer?

P.S: c'est vrai que pour n = 0 on trouve le 1 mais c'est pas intéressant puisque quand on lève le 2 ^ 0 à la puissance n et ben ça reste 2 ^ 0

[gg0]

heu ... pour démontrer une périodicité, on fait le calcul (f(n+T) = ... = f(n)) Puisque tu connais la période et quand elle commence, tu as ce qu'il faut pour faire le calcul qui la démontre ...

[Matlabo]

heu ... pour démontrer une périodicité, on fait le calcul (f(n+T) = ... = f(n)) Puisque tu connais la période et quand elle commence, tu as ce qu'il faut pour faire le calcul qui la démontre ...

D'accord donc dans notre cas faut démontrer que 2^k≡2^(k+4) [10] car la période est de 4. À part le raisonnement par récurrence je ne vois pas une autre manière de le faire.

[gg0]

Pourquoi pas un calcul direct ?



Ce n'est pas parce qu'une formule utilise un entier que la récurrence est nécessaire.

Cordialement.

[Matlabo]

Ah oui C'est vrai, j'ai essayé de l'obtenir directement avec le signe congru...

AvecK >1 (ou égal)

Donc est multiple de 10, donc 2^k≡2^(k+4) [10].

Et Merci.