Calcul l'intégrale

[invite7efcdec8]

Salut je suis bloqué sur un exercice d'integrale qui est comme ça:

In = integrale de 0 à 1 xⁿe^-x*dx

A. Établir la relation de récurrence entre In + 1 et In

Ce que je vais c'est savoir comment on utilse la relation de récurrence.

Merci !
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[gg0]

Bonjour.

Vu le lien par dérivation entre xn et xn+1, utiliser l'intégration par parties devrait être un réflexe.
Pour ce qui concerne "comment on utilise la relation de récurrence", voir la suite de l'énoncé.

[invite7efcdec8]

Oui j'ai fait ça. j'ai trouve -1e^-1 + n Primitive x^n-1

Alors comme je peut établir la relation de récurrence entre In + 1 et In

[gg0]

Tiens ! L'exponentielle a disparu ?

Si tu fais le calcul correctement, tu trouveras une relation entre I_n et I_n-1, puis tu remplaceras n par n+1; mais tu peux aussi faire l'intégration de façon à faire apparaître directement xⁿ⁺¹.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7efcdec8]

Oui je m'avais trompé maintenant j'ai trouver ça:
In = -1/e + Integrale 0 à 1 x^n-1*e^-x*dx

[invite7efcdec8]

Et puis j'ai considéré que:
n Intregrale 0 à 1 x^n-1*e^-x*dx = nIn-1

Donc ça devient: In = -1/e + nIn-1
Alors que ce que je vais faire de suite pour trouver: In + 1 ???

[jacknicklaus]

euh ... tu plaisantes, là ?
tu as trouvé une relation (correcte) qui exprime I(n) en fonction de I(n-1), et tu ne vois pas comment exprimer I(n+1) en fonction de I(n) ??

[invite7efcdec8]

La j'ai fait ça aussi:
In + 1 = -1/e + nIn -1 + 1

Qui donne : In + 1 = -1/e + nIn

est ce que c'est vrai ???

[invite51d17075]

non , c'est faux , tu as
In = -1/e + nI(n-1) ( mettre les indices entre parenthèse est indispensable pour lire correctement )
si tu passes de n à n+1 alors tous les indices ( contenant n ) augmentent de 1

[invite7efcdec8]

Comment ? Je ne comprends pas ça veut dire que ça devient:

In = -1/e + 1I (1-1)
Qui donne In = -1/e + I

??

[invite51d17075]

tu écris n'importe quoi.
quand n devient n+1, il le devient partout, et en même temps n-1 devient n !
( s'il y avait un (n-5) par exemple dans l'équation il deviendrait (n-4) )

[invite7efcdec8]

eeuh.. alors si je fais ça sa donne:

In+1 = -1/e + n+1In+1-1

Qui donne: In+1 = -1/e + n+1In

???

[invite51d17075]

Oui, à condition d'y mettre les bonnes parenthèses.

ps: je ne sais pas pourquoi tu passes par un +1-1 à la fin ?

[invite7efcdec8]

Oui c'est +1-1 parce que tu ma dit de remplacer n par (n+1)

Alors: In+1 = -1/e + (n+1)I(n+1)-1
== In+1 = -1/e + (n+1)I
n'est-ce pas !!??

[invite51d17075]

Oui c'est +1-1 parce que tu ma dit de remplacer n par (n+1)

Alors: In+1 = -1/e + (n+1)I(n+1)-1

C'est encore faux, là.
On avait
I(n)=-1/e+nI(n-1) avec les parenthèses qui vont bien
et non pas
I(n)=-1/e+nIn-1 sans parenthèse.

Donc
I(n) devient I(n+1)
-1/e ne change pas
n devient (n+1) et enfin
I(n-1) devient I(n)
d'où
I(n+1)=-1/e+(n+1)I(n)

Il n'y a pas de I(n+1) qui apparait à droite, que tu compenses avec un -1 et que tu changes en I ( tout court )
tu te mélanges de partout, et surtout sans mettre des bonnes parenthèses.

[invite7efcdec8]

Aaauh... Je vois !! Merci

[invite7efcdec8]

Maintenant je vais savoir:
* Primitive de e^-x est-elle egale à
-e^-x ??

* I1 = -1/e - (e^-1 - e^-0)
Ça sa donne qoui ???

[jacknicklaus]

* Primitive de e^-x est-elle egale à
-e^-x ?

ca c'est du cours. dérivée et primitive de la fonction exponentielle, c'est trivial. On ne fera pas ton exercice à ta place.

* I1 = -1/e - (e^-1 - e^-0)
Ça sa donne qoui ???

idem, ici. C'est du niveau classe de 3ème, utilisation des puissances négatives. A toi de faire.

[invite51d17075]

Ça sa donne qoui ???

c'est ça, ça donne "qoui" , on peut dire "KOUI" , voir "Cui-Cui". aussi !
je suis passé en mode [Humour]

[invite7efcdec8]

I₁ = -1/e - (e^-1 - e^-0)
I₁ = -1/e - (-1/e + 1)
I₁ = -1/e + 1/e - 1
I₁ = -1

Voilà le résultat que j'ai trouver. Est-il vrai ??

[jacknicklaus]

I₁ = -1/e - (e^-1 - e^-0)
I₁ = -1/e - (-1/e + 1)

2 erreurs entre ces deux lignes.
rappel :

[invite7efcdec8]

Alors c'est:

I₁ = -1/e - (e^-1 - e^-0)
I₁ = -1/e - (1/e - e^-0)
I₁ = -1/e -1/e + 0/e
I₁ = 2 (-1/e) + 0/e

??!

[invite51d17075]

combien vaut e^-0 ?????
arrête de lancer des propositions sans réfléchir.
genre, et si j'inverse des signes comme avant, et si propose un autre truc pour voir....etc

[invite7efcdec8]

e⁰ = 1
e^-0 devient -1

???!

[invite51d17075]

mais enfin -0=0 , non ?
tu as sérieuses lacunes, qui doivent dater du collège.

[invite7efcdec8]

Ouiiii je vois Thank U very much !!!

[jacknicklaus]

je ne comprends pas comment redAnt a obtenu le résultat suivant :

Donc ça devient: In = -1/e + nIn-1

avec les lacunes ( exp(0) )et compréhensions ( I(n-1) compris comme (In) - 1 ) montrées dans ses derniers posts. Recopie d'un bout de corrigé ?

[invite51d17075]

effectivement, les erreurs suivantes montrent qu'il n'avait pas compris sa première équation, donc elle n'est pas de son cru.