dénombrement

[invite07b020d3]

Bonsoir,

Je bloque sur un exercice que j'ai trouvé dans le fichier en pièce jointe. J'aimerais donc de l'aide pour la question a)

Voici l'énoncé :

Combien de nombres différents de 5 chiffres distincts peut-on former avec les chiffres de 0 à 9
a) si les nombres doivent être impairs?
b) si les deux premiers chiffres de chaque nombre doivent être pairs?

Là où j'en suis : le premier chiffre ne peut pas être zéro on a donc 9 possibilités, ensuite on a 9 possibilités puisqu'on peut utiliser le zéro au rang suivant , ensuite il y a 8 possibilités puis 7 et dans le dernier rang il ne peut y avoir que des chiffres impairs donc je ne sais pas quoi écrire pour éviter les répétitions : il reste un chiffre impair dans le cas où tous les autres sont pris mais il ne faut pas oublier les cas où ils ne sont pas pris donc je suis perdue

Merci de m'éclairer
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[invite51d17075]

pour la question a).
il y a exactement 5 chiffres impairs entre 0 et 9 : 1,3,5,7,9
donc si on veut que des chiffres impairs, on ne peut choisir que parmi ceux là.
Si les chiffres doivent être tous distincts , alors
le premier se choisi parmi 5, le second parmi 4 etc.
Si ce sont les nb qui sont distincts, alors on peut à chaque fois choisir parmi les 5.

quand à la b), rien n'est précisé sur les deux derniers.

ps: pas encore vu les pièces jointes.

[raymolk]

Pour le a), fixe d'abord le dernier chiffre.

[invite51d17075]

effectivement, ce sont les nb qui sont impairs ( pas les chiffres composant les nb, j'avais mal lu ).
donc le dernier chiffre seul doit l'être.
désolé.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite07b020d3]

On a donc 5 possibilités pour le chiffre des unités
Pour le chiffre des dizaines on a 5-1+ 5 = 9 possibilités
Puisque les chiffres doivent être distincts on retire à chaque rang une possibilité sauf pour celui des dizaines de millier car on ne peut pas utiliser 0 donc on a 5*9*8*7*5 = 12 600 possibilités ?

[invite51d17075]

Je dirais la même chose.....

[raymolk]

Je dirais bien que non, car tu te retrouves avec la même incertitude sur le chiffre des dizaines de milliers que pour celui des unités dans ton premier post : comment sais-tu si le 0 a déjà été pris ou pas, et donc si il y a 6 possibilités ou 5 ?
Je dirais qu'il faut fixer d'abord les chiffres contraints, pour lesquels on a d'ailleurs la « chance » que les contraintes sont indépendantes :
- 5 possibilités pour le chiffre des unités qui doit être impair
- 10-1-1=8 possibilités pour le chiffre des dizaines de milliers, qui doit être différent de 0 et différent du précédent choisi (les deux choses sont indépendantes, ce qui ne serait pas le cas si le chiffre des unités devait être pair)
- puis 8, 7, et 6 pour les autres
Au final : 13440

[invite07b020d3]

Si l'on considère que le chiffre des unités doit être pair alors on a combien de possibilité pour le chiffre des dizaines de milliers ?
Mais pourquoi ne trouve-t-on pas le même résultat si on ne commence pas par déduire les possibilités pour les chiffres contraints mais plutôt par rang ?

[invite51d17075]

bjr, ce coup ci je vais essayer de ne pas tomber dans le piège ....

Si l'on considère que le chiffre des unités doit être pair alors on a combien de possibilité pour le chiffre des dizaines de milliers ?

Dans le cas pair, il y a une dépendance éventuelle entre le dernier chiffre possible ( 5 choix dont le 0 ) et le premier.
si le dernier est 0, tous les autres peuvent être choisis indépendamment dans l'ordre que l'on veut ( du moment qu'ils sont différents ) donc
1*9*8*7*6
si le dernier chiffre est pair mais non nul ( 4 possibilités ).
alors il faut aussi écarter l'hypothèse que le premier est nul ce qui lui laisse 8 poss, puis encore 8, puis 7 et 6.
soit:
1*9*8*7*6+4*8*8*7*6

[invite51d17075]

et globalement on ne peut raisonner par rang à cause du premier chiffre ( non nul ).
dans le cas impair ( si on raisonne par rang , il peut avoir été choisi avant, auquel cas le pb ne se pose plus pour le premier )
dans le cas pair, il peut de plus avoir été chosi en dernier, ce qui implique de séparer les cas.

[invite07b020d3]

Et donc dans le cas impair si le chiffre des unités est choisi en dernier il faut alors prendre en compte les cas où un chiffre impair est utilisé dans les autres rang pour déterminer les possibilités pour le chiffre des unités ? On l'exprime donc en premier pour ne pas alourdir le calcul ?

[invite51d17075]

Et donc dans le cas impair si le chiffre des unités est choisi en dernier il faut alors prendre en compte les cas où un chiffre impair est utilisé dans les autres rang pour déterminer les possibilités pour le chiffre des unités ? On l'exprime donc en premier pour ne pas alourdir le calcul ?

oui, sinon on entre dans "un arbre" bien compliqué pour rien.

[invite07b020d3]

Ohh alors je crois que j'ai compris
Merci pour vos explications.