Démontrez qu'une suite est géométrique

[Heisenberg7333]

Bonjour , alors voilà j'ai un petit problème de maths que je n'arrive pas à résoudre
U0=1
Un+1=2Un+3^n
Trouvez U1,U2 , puis démontrez que cette suite est géométrique
Merci à l'avance.
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[gg0]

Bonjour.

Je pense que tu as trouvé U1 et U3, et donc vu la raison de la suite.
Il te suffira ensuite de faire une preuve par récurrence.

Bon travail !!

[Heisenberg7333]

oui la raison est normalement égale à 3
mais je ne vois pas de quelle preuve tu parle :/

[gg0]

Si tu ne connais pas la méthode de preuve par récurrence, tu auras du mal à justifier que c'est une suite géométrique. Je te rappelle (*) comment ça marche. Ici, tu veux montrer que pour tout n, u_n = 3ⁿ. Cette égalité est vérifiée pour n=0. Supposons qu'elle soit vérifiée pour un certain entier n. On va montrer qu'elle est vérifiée aussi pour celui d'après (**) : u_n+1 = 2 u_n+3ⁿ = .. = 3ⁿ⁺¹ (***). C'est fait, il ne reste plus qu'à conclure (****) : Pour tout n, u_n = 3ⁿ.

Cordialement.

(*) ou je t'apprends
(**) qui est 1 de plus : n+1. Et donc en reprenant le résultat de la preuve, qui ne dépend pas de la valeur exacte de n, avec l'entier suivant, elle est vérifiée par l'entier encore après, et ainsi de suite par tous ceux qui suivent ce n.
(***) c'est la même égalité mais où n a été remplacé par n+1, par exemple si n=3 c'est l'égalité pour 4.
(****) c'est vrai pour 0, donc c'est vrai pour tous les entiers qui suivent 0 et pour 0, donc pour tous les entiers.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Heisenberg7333]

Merci infiniment !