Primitive d'une fonction trigo

[kNz]

Bonjour à tous,

Je cherche à déterminer une primitive de sin⁴x et ... jiarivpa

Si quelqu'un peut m'donner un p'tit coup de main, c'est volontiers

Thanks, cordialement.
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[invite9948d628]

Bonjour,

Il faut utiliser la formule d'euler:: sin x= (exp ix- exp ix)/2i
Ensuite tu développes ton sin x a la puissance 4 en remplaçant les exp par des cos et sin. Voilà

Bonne chance

[invite9948d628]

Tu peux faire la même chose avec le cos. Ce sont des formules de linéarisation qui permettent d'obtenir le plus souvent des primitives de sin à la puissance.

[kNz]

Salut,

Bonjour,

Il faut utiliser la formule d'euler:: sin x= (exp ix- exp ix)/2i
Ensuite tu développes ton sin x a la puissance 4 en remplaçant les exp par des cos et sin. Voilà

Bonne chance

Merci pour ta réponse, qu'appelles tu remplacer les exp par des cos et des sin, désolé j'ai pas encore vu les exponentielles

Merci bien en tout cas

[A voir en vidéo sur Futura]

[azt]

Bonsoir,
Il n'est pas besoin de passer par la forme exponentielle, (On peut laisser de côté le marteau piqueur)
Si je ne m'abuse tu dois connaitre la formule (sin x)² = (1-cos(2x))/2 ?
en écrivant (sin x)⁴ = (sin x)² * (sin x )²= (sin x)² *(1- (cos x )²)
Avec une autre formule assez simple, tu devrais arriver à quelque chose de facilement intégrable.

Comment s'appelle ce style d'exercice déjà ? Je ne m'en souviens plus.
AZT

[Cyp]

kNz>l'idée que tu dois avoir en tête c'est de transformer les sin à la puissance quelque chose en des sin(k*x) où k est entier le plus souvent, c'est ce qu'on appelle linéariser, car tu ne peux pas trouver directement une primitive de sin(x)^n (n=2,3...). Donc ya différentes manières de transformer sin(x)^n mais le but est toujours le même, se ramener à du sin(k*x). Par exemple pour sin(x)^2 tu as sin(x)^2=(1-cos(2x))/2 qui est facile à primitiver Utiliser l'exponentielle comme ça t'es proposé est une autre façon de linéariser ton sin(x)^4

[kNz]

Si je ne m'abuse tu dois connaitre la formule (sin x)² = (1-cos(2x))/2 ?
en écrivant (sin x)⁴ = (sin x)² * (sin x )²= (sin x)² *(1- (cos x )²)

Oui oui, je la connaissais sous la forme cos(2x) = 1 + 2sin²x

kNz>l'idée que tu dois avoir en tête c'est de transformer les sin à la puissance quelque chose en des sin(k*x) où k est entier le plus souvent, c'est ce qu'on appelle linéariser, car tu ne peux pas trouver directement une primitive de sin(x)^n (n=2,3...). Donc ya différentes manières de transformer sin(x)^n mais le but est toujours le même, se ramener à du sin(k*x). Par exemple pour sin(x)^2 tu as sin(x)^2=(1-cos(2x))/2 qui est facile à primitiver Utiliser l'exponentielle comme ça t'es proposé est une autre façon de linéariser ton sin(x)^4

Merci à tous les deux pour les conseils, je repasse demain avec ce que j'ai fait.

Comment s'appelle ce style d'exercice déjà ? Je ne m'en souviens plus.

Je ne sais plus, je l'ai trouvé dans un vieux bouquin ...

Merci

Cordialement.

[invitebb921944]

Bonjour.
Si vous voulez une méthode classe pour des puissances élevées, cherchez du côté de l'intégrale de Wallis !

[Cyp]

Ganash>les intégrales de Wallis c'est bien mais je vois pas à quoi çà peut servir là, parce que déjà ça donne pas une primitive mais la valeur de l'intégrale sur [0,Pi/2] il me semble, et en plus de ce que je me souviens, les formules pour I2p et I(2p+1) sont pas spécialement simples (en elles-mêmes, et pas simples non plus à établir, mais tout est relatif)... N'empêche que c'est un exercice assez intéressant

[invitebb921944]

Bah déjà entre 0 et 2Pi, c'est toi qui voit mais tu peux tout à fait changer les bornes...
Et sinon tu peux en déduire une primitive j'imagine puisque tu peux déterminer ton Wn en fonction de ton W1 ! Quoique, ca marche peut-être uniquement pour certaines puissances de n !

[Cyp]

Le problème c'est que si tu n'intrègres plus sur [0,Pi/2] mais sur un segment quelconque ya plus aucune raison d'avoir des relations sympathiques entre les Wn (parce que les sin et cos ne se simplifieront plus je pense en passant de Wn à Wn+1 par exemple). Et après je me permets d'insister mais c'est un peu pédestre pour trouver les expressions générales (faut faire gaffe d'oublier aucun terme dans les simplifications) mais bon c'est faisable

[invitebb921944]

Le problème c'est que si tu n'intrègres plus sur [0,Pi/2] mais sur un segment quelconque ya plus aucune raison d'avoir des relations sympathiques entre les Wn (parce que les sin et cos ne se simplifieront plus je pense en passant de Wn à Wn+1 par exemple).

En fait on n'a pas besoin de relation sympathique étant donné justement qu'on cherche une primitive.
Pour info, je trouve 1/4*sinx(cosx)^3+3/8*(sinxcosx+x) comme primitive qui s'annule en x=0.

Effectivement, il ne faut pas parler d'intégrale de Wallis mais on peut utiliser la méthode employée par lui dans son calcul d'intégrale !!!

Après je sais qu'on peut oublier des termes tout ça mais faut bien leur ouvrir l'esprit aux lycéens

[Cyp]

Oui je pense que question ouverture d'esprit c'est mission réussie Mais c'est vrai que c'est intéressant quand on peut en connaître un peu plus que le strict minimum...

[invite8e9bfb01]

On peut aussi utiliser les nombres complexes pour la linéarisation de sin⁴x (voir le cours).

Après calculs, on trouve le résultat suivant:

sin⁴x = 1/8 (cos4x - 4 cos2x + 3)

(En espérant ne pas me tromper)

Et le calcul de la primitive de sin⁴x se fait trés aisément par le biais du deuxième membre de l'égalité précédente...